Exemple
Limites · 2 Bac SM · difficulté 5/10
Calculer la limite : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\bigl(x-\ln x\bigr)$
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on a: $\ln x$ tend vers $+\infty$. On obtient donc la forme indéterminée $+\infty-\infty$.
On factorise alors par $x$, on trouve:$$x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right).$$On utilise la limite de référence suivante (cours) :
$$\color{purple}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.}$$On en déduit que: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (1-\dfrac{\ln x}{x})=1$,
et puisque $x$ tend vers $+\infty$,on conclut alors (produit de deux limites) que $$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right) = +\infty\times 1 = +\infty.$$Par conséquent :
$$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty.}$$
En bref : On reconnaît une forme indéterminée $+\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant $x$, puis on utilise la limite de référence $\dfrac{\ln x}{x}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.