Calcul intégral cours et exercices corrigés

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Définition

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \) et \( F \) une primitive de \( f \) sur \( [a\,;b] \).

L'intégrale de la fonction \( f \) entre \( a \) et \( b \) est le nombre réel : \[ \int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \]

Propriétés

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0 \] \[ \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \]

La linéarité

\( (k \in \mathbb{R}) \) : \[ \int_a^b k\,f(x)\,dx \;=\; k\int_a^b f(x)\,dx \] \[ \int_a^b \Big[f(x) + g(x)\Big]\,dx \;=\; \int_a^b f(x)\,dx \;+\; \int_a^b g(x)\,dx \]

Relation de Chasles

\[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^b f(x)\,dx \]

Intégrale et comparaison

Si \( \forall x \in [a\,;b] \), on a \( f(x) \geq 0 \), alors : \[ \int_a^b f(x)\,dx \;\geq\; 0 \] Si \( \forall x \in [a\,;b] \), on a \( f(x) \geq g(x) \), alors : \[ \int_a^b f(x)\,dx \;\geq\; \int_a^b g(x)\,dx \]

La valeur moyenne

Définition

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \).

La valeur moyenne de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [a\,;b] \) est le réel défini par : \[ \mu \;=\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \]

Intégration par parties

Propriété

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( [a\,;b] \) à condition que \( f' \) et \( g' \) soient continues sur l'intervalle \( [a\,;b] \) : \[ \int_a^b f'(x) \times g(x)\,dx \;=\; \Big[f(x) \times g(x)\Big]_a^b \;-\; \int_a^b f(x) \times g'(x)\,dx \]

Calcul de l'aire algébrique d'un domaine plan

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \( (O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,) \).
L'unité de surface (u.a.) est la surface d'un rectangle défini par le point \( O \) et les deux vecteurs \( \vec{\imath} \) et \( \vec{\jmath} \) : \[ 1\;\text{u.a.} = \|\vec{\imath}\,\| \times \|\vec{\jmath}\,\| \]

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \).

L'aire algébrique délimitée par la courbe \( (\mathcal{C}_f) \), l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = a \) et \( x = b \) est : \[ \mathcal{A} = \left(\int_a^b \big|f(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

Cas particuliers

\( f \) positive sur \( [a\,;b] \) :

[ \mathcal{A} = \left(\int_a^b f(x),dx\right);\text{u.a.} ]

\( f \) négative sur \( [a\,;b] \) :

[ \mathcal{A} = \left(\int_a^b \big(-f(x)\big),dx\right);\text{u.a.} ]

\( f \) positive sur \( [a\,;c] \) et négative sur \( [c\,;b] \) :

[ \mathcal{A} = \left(\int_a^c f(x),dx ;+; \int_c^b \big(-f(x)\big),dx\right);\text{u.a.} ]

Aire entre deux courbes

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( [a\,;b] \).

L'aire algébrique comprise entre la courbe \( (\mathcal{C}_f) \), la courbe \( (\mathcal{C}_g) \) et les droites d'équation \( x = a \) et \( x = b \) est : \[ \mathcal{A} = \left(\int_a^b \big|f(x) - g(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

Cas particuliers

\( (\mathcal{C}_f) \) se situe au-dessus de \( (\mathcal{C}_g) \) sur \( [a\,;b] \) :

[ \mathcal{A} = \left(\int_a^b \Big(f(x) - g(x)\Big),dx\right);\text{u.a.} ]

\( (\mathcal{C}_f) \) se situe au-dessus de \( (\mathcal{C}_g) \) sur \( [a\,;c] \) et au-dessous de \( (\mathcal{C}_g) \) sur \( [c\,;b] \) :

[ \mathcal{A} = \left(\int_a^c \Big(f(x) - g(x)\Big),dx ;+; \int_c^b \Big(g(x) - f(x)\Big),dx\right);\text{u.a.} ]

Calcul d'un volume

Propriété

Le volume du solide engendré par un tour complet de la courbe \( (\mathcal{C}_f) \) autour de l'axe des abscisses dans un intervalle \( [a\,;b] \) est : \[ V = \left[\int_a^b \pi\,\big(f(x)\big)^2\,dx\right]\;\text{u.a.} \]