Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Appliquer l'intégration par parties à $I_{n+1}$**

Pour $I_{n+1} = \int_1^e x(\ln x)^{n+1} dx$, on pose :
- $u = (\ln x)^{n+1}$ → $du = \frac{n+1}{x}(\ln x)^n dx$
- $dv = x\,dx$ → $v = \frac{x^2}{2}$

Par intégration par parties :
$$I_{n+1} = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^{n+1}\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{n+1}{x}(\ln x)^n dx$$

**Étape 2 : Évaluer les bornes**

En $x = e$ : $\frac{e^2}{2}(\ln e)^{n+1} = \frac{e^2}{2} \cdot 1 = \frac{e^2}{2}$

En $x = 1$ : $\frac{1}{2}(\ln 1)^{n+1} = 0$

Donc :
$$I_{n+1} = \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2}\int_1^e x(\ln x)^n dx$$

$$I_{n+1} = \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2}I_n$$

**Étape 3 : Calculer $2I_{n+1} + (n+1)I_n$**

Multiplier par 2 :
$$2I_{n+1} = e^2 - (n+1)I_n$$

Ajouter $(n+1)I_n$ des deux côtés :
$$2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2$$