Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

On exprime chaque terme sous forme exponentielle :

$$u_n = \prod_{k=0}^{9} \sqrt[3 \times 2^k]{5} = \prod_{k=0}^{9} 5^{\frac{1}{3 \times 2^k}}$$

En utilisant la propriété du produit des puissances :
$$u_n = 5^{\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{3 \times 2^k}} = 5^{\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{2^k}}$$

Calculons la série géométrique :
$$\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{2^k} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{10}}\right) = 2 - \frac{2}{1024} = 2 - \frac{1}{512} = \frac{1024 - 1}{512} = \frac{1023}{512}$$

Donc :
$$u_n = 5^{\frac{1}{3} \times \frac{1023}{512}} = 5^{\frac{1023}{1536}}$$

Or, $\sqrt[3]{5^x} = 5^{\frac{x}{3}}$, donc :
$$\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}} = 5^{\frac{1023}{512 \times 3}} = 5^{\frac{1023}{1536}}$$

Ainsi $u_n = \sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}$