Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Convertir en forme trigonométrique**

Soit $w = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})$

Calculons le module :
$$|w| = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

Calculons l'argument :
$$w = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

On a $\cos\theta = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Donc $\theta = -\frac{\pi}{3}$ (ou $\frac{5\pi}{3}$)

Ainsi : $w = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}e^{-i\pi/3}$

**Étape 2 : Appliquer la formule de Moivre**

$$z = w^{18} = \left(\sqrt{2}\right)^{18} \cdot e^{-i18\pi/3}$$

$$z = 2^{9} \cdot e^{-i6\pi} = 512 \cdot e^{0} = 512$$

(Car $e^{-i6\pi} = \cos(-6\pi) + i\sin(-6\pi) = 1$)