Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

Soit $z = x + iy$ avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et $z \neq 0$.

**Calcul de $z + \frac{1}{z}$ :**

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}$$

Donc :
$$z + \frac{1}{z} = x + iy + \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2} = \left(x + \frac{x}{x^2+y^2}\right) + i\left(y - \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

**Condition pour que ce nombre soit réel :**

La partie imaginaire doit être nulle :
$$y - \frac{y}{x^2+y^2} = 0$$

$$y\left(1 - \frac{1}{x^2+y^2}\right) = 0$$

Cela donne deux cas :

**Cas 1 :** $y = 0$ ⟹ $z = x \in \mathbb{R}$. Comme $z \neq 0$, on obtient **l'axe des réels privé du point $O$**.

**Cas 2 :** $1 - \frac{1}{x^2+y^2} = 0$ ⟹ $x^2 + y^2 = 1$ ⟹ **le cercle de centre $O$ et de rayon $1$**.

**Vérification du cercle :** Si $|z| = 1$, alors $\frac{1}{z} = \bar{z}$, donc $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) \in \mathbb{R}$. ✓

**Ensemble solution :** L'union des deux ensembles.