Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Calculer l'intégrale**

Soit $I = \int_0^1 \frac{e^{ax}}{1+e^{ax}} dx$

On utilise la substitution $u = e^{ax}$, donc $du = ae^{ax}dx$

$$I = \int_1^{e^a} \frac{1}{1+u} \cdot \frac{du}{a} = \frac{1}{a}\left[\ln(1+u)\right]_1^{e^a}$$

$$I = \frac{1}{a}\left[\ln(1+e^a) - \ln(2)\right] = \frac{1}{a}\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right)$$

**Étape 2 : Appliquer la condition donnée**

On nous dit que $I = \frac{1}{a}$, donc :

$$\frac{1}{a}\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = \frac{1}{a}$$

En multipliant par $a$ (où $a \neq 0$) :

$$\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = 1$$

**Étape 3 : Résoudre l'équation**

$$\frac{1+e^a}{2} = e^1 = e$$

$$1 + e^a = 2e$$

$$e^a = 2e - 1$$

$$a = \ln(2e-1)$$