Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Écrire $z$ sous forme exponentielle**

On a $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$, donc :
$$z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{3}}$$

**Étape 2 : Calculer $z^8$ avec la formule de Moivre**

$$z^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \frac{\pi}{3}}$$

$$z^8 = 2^4 \cdot e^{i\frac{8\pi}{3}}$$

$$z^8 = 16 e^{i\frac{8\pi}{3}}$$

**Étape 3 : Réduire l'argument modulo $2\pi$**

$$\frac{8\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi - 6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Donc : $z^8 = 16 e^{i\frac{2\pi}{3}}$

**Étape 4 : Convertir en forme algébrique**

$$e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}$$

Or : $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$z^8 = 16\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

$$z^8 = -8 + i8\sqrt{3}$$

**Réponse : b) $-8 + i8\sqrt{3}$** ✓