Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

On cherche $f(e)$ connaissant $f(1) = 4$ et $f'(x) = 2x + \ln x$ pour $x \in \mathbb{R}_+^*$.

**Étape 1 : Utiliser le théorème fondamental du calcul**
$$f(e) = f(1) + \int_1^e f'(x) \, dx = 4 + \int_1^e (2x + \ln x) \, dx$$

**Étape 2 : Calculer l'intégrale**
On intègre terme par terme :
- $\int 2x \, dx = x^2$
- $\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ (par intégration par parties)

Donc :
$$\int_1^e (2x + \ln x) \, dx = \left[x^2 + x\ln x - x\right]_1^e$$

**Étape 3 : Évaluer aux bornes**

En $x = e$ :
$$e^2 + e\ln e - e = e^2 + e \cdot 1 - e = e^2$$

En $x = 1$ :
$$1 + 1 \cdot \ln 1 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$$

Différence :
$$e^2 - 0 = e^2$$

**Étape 4 : Conclusion**
$$f(e) = 4 + e^2 = e^2 + 4$$