Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Identification de la suite**

$S_n = \sum_{k=1}^{n} q^k = q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n$ est une série géométrique de premier terme $q$ et de raison $q$.

**Étape 2 : Formule de la somme**

Pour $q \neq 1$ :
$$S_n = q \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{q - q^{n+1}}{1 - q}$$

**Étape 3 : Convergence**

La suite $(S_n)$ converge si et seulement si $|q| < 1$. Dans ce cas :
$$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{q}{1 - q}$$

**Étape 4 : Utilisation de la limite donnée**

On nous dit que $\lim_{n \to +\infty} S_n = 4$, donc :
$$\frac{q}{1 - q} = 4$$

**Étape 5 : Résolution**

$$q = 4(1 - q)$$
$$q = 4 - 4q$$
$$5q = 4$$
$$q = \frac{4}{5}$$

**Vérification** : $|\frac{4}{5}| = 0,8 < 1$ ✓ (convergence assurée)