Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

Pour que $f$ soit dérivable en $0$, deux conditions sont nécessaires :

**Condition 1 : Continuité en 0**

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a(0) + b = b$

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{0+1} = 1$

$f(0) = a(0) + b = b$

Pour la continuité : $b = 1$

**Condition 2 : Égalité des dérivées latérales**

Dérivée à gauche en 0 :
$$f'_g(0) = a$$

Dérivée à droite en 0 :
$$f'_d(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{h+1} - 1}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1-(h+1)}{h+1}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h(h+1)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-1}{h+1} = -1$$

Pour la dérivabilité : $a = -1$

**Conclusion :** $a = -1$ et $b = 1$ ✓