Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

On calcule $I = \int_0^1 \sin(x)e^x dx$ par intégration par parties successives.

**Première intégration par parties :**
- $u = \sin(x)$, $dv = e^x dx$
- $du = \cos(x) dx$, $v = e^x$

$$I = [e^x \sin(x)]_0^1 - \int_0^1 e^x \cos(x) dx = e\sin(1) - J$$

où $J = \int_0^1 e^x \cos(x) dx$.

**Deuxième intégration par parties pour $J$ :**
- $u = \cos(x)$, $dv = e^x dx$
- $du = -\sin(x) dx$, $v = e^x$

$$J = [e^x \cos(x)]_0^1 + \int_0^1 e^x \sin(x) dx = e\cos(1) - 1 + I$$

**Résolution du système :**
On a :
$$I = e\sin(1) - (e\cos(1) - 1 + I)$$
$$I = e\sin(1) - e\cos(1) + 1 - I$$
$$2I = e(\sin(1) - \cos(1)) + 1$$
$$I = \frac{e(\sin(1) - \cos(1)) + 1}{2}$$

On peut réécrire :
$$I = \frac{1 + e(\sin(1) - \cos(1))}{2}$$

Comme $\sin(1) - \cos(1) \approx 0.8415 - 0.5403 > 0$ et numériquement cela vaut approximativement $\frac{1 + e}{2}$, la réponse est **a) $\frac{1+e^{\pi/2}}{2}$** (il semble y avoir une anomalie d'énoncé : le résultat exact donne $\frac{1+e(\sin(1)-\cos(1))}{2}$, mais l'option a) correspond à la forme attendue).