Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Trouver l'argument de $z$**

On sait que $\arg(iz) \equiv \frac{7\pi}{6} \ [2\pi]$.

Or, $\arg(iz) = \arg(i) + \arg(z) = \frac{\pi}{2} + \arg(z) \ [2\pi]$.

Donc : $\frac{\pi}{2} + \arg(z) \equiv \frac{7\pi}{6} \ [2\pi]$

$\arg(z) \equiv \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \ [2\pi]$

**Étape 2 : Exprimer $z$ en forme trigonométrique**

Avec $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$ :

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$$

**Étape 3 : Calculer $z^3$**

Par la formule de Moivre :

$$z^3 = (\sqrt{2})^3 \left( \cos \frac{6\pi}{3} + i \sin \frac{6\pi}{3} \right)$$

$$z^3 = 2\sqrt{2} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right)$$

$$z^3 = 2\sqrt{2} (1 + 0i) = 2\sqrt{2}$$

**Étape 4 : Identifier la partie imaginaire**

$z^3 = 2\sqrt{2}$ est un nombre réel.

La partie imaginaire de $z^3$ est donc $\boxed{0}$.