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On utilise la méthode de reconnaissance de la forme $\frac{u'}{u}$ dont la primitive est $\ln|u|$.

**Étape 1 : Identifier le numérateur comme la dérivée du dénominateur**

Soit $u(x) = e^x + e^{-x}$

Calculons sa dérivée :
$$u'(x) = e^x - e^{-x}$$

C'est exactement notre numérateur !

**Étape 2 : Reconnaître la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$**

$$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

**Étape 3 : Appliquer la formule**

La primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)| + C$

Comme $e^x + e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut omettre la valeur absolue :

$$F(x) = \ln(e^x + e^{-x}) + C$$

**Vérification** : $F'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = f(x)$ ✓