Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

On cherche le maximum de $f(x) = \sin x + \cos x$.

**Méthode 1 : Transformation linéaire**

On réécrit $f(x)$ sous la forme $R\sin(x + \phi)$.

$$f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$$

Or $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$, donc :

$$f(x) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right)$$

Avec la formule $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ :

$$f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Comme $-1 \leq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1$, on a :

$$\max f(x) = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$$

**Méthode 2 : Dérivée**

$f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

En $x = \frac{\pi}{4}$ : $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$