Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Vérifier l'indétermination**

Quand $x \to 0$ :
- $\ln(e+0) = \ln(e) = 1$, donc $\sqrt{\ln(e+x)} \to 1$ et le numérateur $\to 0$
- $\sqrt{0+1} = 1$, donc le dénominateur $\to 0$

On a la forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

**Étape 2 : Utiliser l'équivalence en zéro**

Pour $x$ proche de 0, utilisons les développements :
- $\ln(e+x) = \ln(e) + \frac{x}{e} - \frac{x^2}{2e^2} + O(x^3) = 1 + \frac{x}{e} + O(x^2)$

Donc :
$$\sqrt{\ln(e+x)} = \sqrt{1 + \frac{x}{e} + O(x^2)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{e} = 1 + \frac{x}{2e}$$

Ainsi : $\sqrt{\ln(e+x)} - 1 \approx \frac{x}{2e}$

**Étape 3 : Développer le dénominateur**

$$\sqrt{x+1} - 1 = \frac{x}{2} + O(x^2)$$

**Étape 4 : Calculer la limite**

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\ln(e+x)}-1}{\sqrt{x+1}-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2e}}{\frac{x}{2}} = \frac{\frac{1}{2e}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{e}$$