Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

Étudions $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x}$.

**Étape 1 : Analyser le numérateur**

Lorsque $x \to 0$ : $\ln(1+x^2) \to \ln(1) = 0$

Donc $\sqrt{\ln(1+x^2)} \to 0$

**Étape 2 : Observer la forme de la limite**

On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

**Étape 3 : Étudier les limites latérales**

Pour $x > 0$ (proche de 0) :
$$f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x} > 0$$
car numérateur et dénominateur sont positifs.

Pour $x < 0$ (proche de 0) :
$$f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x} < 0$$
car numérateur est positif et dénominateur est négatif.

**Étape 4 : Conclure sur les limites latérales**

- $\lim_{x \to 0^+} f(x) \geq 0$ (les valeurs sont positives)
- $\lim_{x \to 0^-} f(x) \leq 0$ (les valeurs sont négatives)

Puisque les limites à droite et à gauche ont des signes opposés, elles ne peuvent pas être égales.

**Donc $f$ n'admet pas de limite en $0$.**