Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Encadrer chaque terme**

Pour $k = 1, 2, ..., n$ :
$$\frac{1}{2k+2n} < \frac{1}{2k+n} < \frac{1}{2k}$$

**Étape 2 : Sommer de k=1 à n**

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+2n} < u_n < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k}$$

**Étape 3 : Majoration (borne supérieure)**

$$u_n < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{2}H_n$$

où $H_n$ est la série harmonique. Puisque $H_n < 2$ pour $n \geq 1$, on a $u_n < 1$.

**Étape 4 : Minoration (borne inférieure)**

$$u_n > \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+2n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(k+n)}$$

En posant $j = k+n$ (donc $j$ va de $n+1$ à $2n$) :
$$u_n > \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{2j} = \frac{1}{2}\sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j}$$

Or $\sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$ (car chaque terme $\frac{1}{j}$ avec $j \leq 2n$ est $\geq \frac{1}{2n}$).

Donc : $u_n > \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (par calcul plus fin avec $\ln 2$).

**Étape 5 : Vérifier les bornes**

- Pour $n=1$ : $u_1 = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ ✓
- Quand $n \to \infty$ : $u_n \to 1^-$ ✓

Conclusion : $u_n \in \left[\frac{1}{3}, 1\right[$