Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

On calcule $u_{2n} - u_n$ directement :

$$u_{2n} - u_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$$

Cette somme contient exactement $n$ termes : $\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \ldots, \frac{1}{2n}$.

**Minoration** : Chacun de ces $n$ termes est au moins $\frac{1}{2n}$ (le plus petit terme) :

$$u_{2n} - u_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$$

Donc : $\boxed{u_{2n} - u_n \geq \frac{1}{2}}$ ✓

**Vérification des autres options** :
- L'option b) est fausse : on vient de montrer $\geq \frac{1}{2}$, donc on ne peut pas avoir $\leq \frac{1}{4}$
- L'option c) est fausse : $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$
- L'option d) est fausse : l'inégalité est large ($\geq$), pas stricte