Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étude quand $x \to +\infty$ :**

$$f(x) = 2\ln\left(\frac{e^x + 2}{\sqrt{1+e^x}}\right) = 2\ln(e^x + 2) - 2\ln\left(\sqrt{1+e^x}\right)$$

$$= 2\ln(e^x + 2) - \ln(1+e^x)$$

Factorisons par $e^x$ :
$$f(x) = 2\ln\left(e^x\left(1 + 2e^{-x}\right)\right) - \ln\left(e^x(e^{-x}+1)\right)$$

$$= 2\left[x + \ln(1 + 2e^{-x})\right] - \left[x + \ln(e^{-x}+1)\right]$$

$$= 2x + 2\ln(1 + 2e^{-x}) - x - \ln(e^{-x}+1)$$

$$= x + 2\ln(1 + 2e^{-x}) - \ln(e^{-x}+1)$$

Quand $x \to +\infty$ : $e^{-x} \to 0$

$$f(x) \to x + 2\ln(1) - \ln(1) = x + 0 = x$$

Donc $f(x) - x \to 0$, ce qui signifie que $y = x$ est asymptote oblique.

**Vérification quand $x \to -\infty$ :** Le raisonnement similar confirme que $y = x$ est aussi asymptote.