Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

Soit $z = -1 + \sqrt{2} + i$.

**Étape 1 : Identifier les parties réelle et imaginaire**
$$z = (-1 + \sqrt{2}) + i$$
$$a = -1 + \sqrt{2} \approx 0,414 > 0 \quad ; \quad b = 1 > 0$$

**Étape 2 : Le complexe est au premier quadrant**
Puisque $a > 0$ et $b > 0$, on a $0 < \arg(z) < \frac{\pi}{2}$.

**Étape 3 : Utiliser la relation trigonométrique**
$$\tan(\arg(z)) = \frac{b}{a} = \frac{1}{-1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$$

Rationalisons :
$$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$$

**Étape 4 : Identifier l'angle**
$$\tan\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{2} + 1$$

Cette valeur remarquable provient de la formule de demi-angle appliquée à $\frac{3\pi}{4}$.

**Conclusion :** $\arg(z) = \frac{3\pi}{8}$