Analyse 1 - Logarithme népérien

➊ Fonctions bijectives

Définition $1$ Soient $A$ et $B$ deux intervalles de $\mathbb R$. Soit $f\; :\; A \to B$ une fonction.
$\quad$ On dit que $f$ est \begin{array}{ll} - & \text{ injective si pour tout $x_1, x_2 \in A$ l'égalité $f(x_1)=f(x_2)$ implique $x_1=x _2$.}\\ &\text{ Autrement dit pour tout $y\in B$ l'équation $f(x)=y$ a au plus une solution}\\[2ex] - & \text{ surjective si pour tout $y\in B$ il existe $x\in A$ tel que implique $f(x)=y$.}\\ &\text{ Autrement dit pour tout $y\in B$ l'équation $f(x)=y$ a au moins une solution}\\[2ex] - & \text{ bijective si $f$ est injective et surjective. Autrement dit}\\ &\text{ Autrement dit pour tout $y\in B$ l'équation $f(x)=y$ a exactement une solution}\\[4ex] \end{array} Exemples \begin{array}{ll} 1. & \text{ La fonction $\sin : [0, 2\pi] \to [-1, 1] $ est surjective, mais n’est pas injective car $\sin 0 =\sin \pi $ et $0\neq \pi .$}\\[2ex] 2. &\text{ La fonction $f : [-1, 1] \to [0, 1] $ définie par $f(x)=x^2$ est surjective, mais n’est pas injective car $f(-1)=f(1)$ }\\[2ex] 3. & \text{ La fonction $\sin : [-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}] \to \mathbb R $ est injective, mais n’est pas surjective.}\\[2ex] 4. & \text{ La fonction $\sin : [-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}] \to \mathbb [-1, 1] $ est bijective.}\\[4ex] \end{array} Proposition $1$ Soient $I$ un intervalle et $f\;:\; I \to \mathbb R$ une fonction continue. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes \begin{array}{ll} 1. & \text{ La fonction $f \;:\; I \to f(I) $ est bijective. }\\[2ex] 3. & \text{ La fonction $f$ est strictement monotone. }\\[4ex] \end{array}

➋ Logarithme et exponentielle

Définition $1$ Pour $x \gt 0$, on définit $$\ln x = \int_1^x \dfrac{1}{t}dt,$$ On appelle la fonction $\ln$ le logarithme népérien.
$\quad$ On a $\ln^\prime (x) = \dfrac{1}{x}$ er par conséquent $\ln^\prime (x)\gt 0$ pour $x\gt 0$. Donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0, +\infty[$. D'après la proposition $(1)$ la fonction $\ln$ est donc une bijection de $]0, +\infty[$ ourson image $f(]0, +\infty[)$. Il reste à déterminer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln (x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln (x).$

Proposition $2$ On a les limites $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln (x)=-\infty \quad\text{ et } \quad\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln (x)=+\infty .$$
Démonstration. Montrons d'abord la deuxième. On remarque que la fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{t}$ est décroissante sur $]0, +\infty[$.
Donc pour un entier $n\geq$ 1 $$\dfrac{1}{t} \geq \dfrac{1}{n+1} \quad \text{ si }\; n\leq t \leq n+1.\qquad (*)$$ Soit $[x]$ la partie entière de $x$. En Utilisant l'inégalité $(*)$ et en décomposant l'intégrale on obtient \begin{align} \ln (x) = \int_1^x \dfrac{1}{t}dt & = \int_1^2 \dfrac{1}{t}dt + \int_2^3 \dfrac{1}{t}dt+\cdots + \int_{[x]-1}^[x] \dfrac{1}{t}dt + \int_[x]^x \dfrac{1}{t}dt \\[2ex] & \geq \int_1^2 \dfrac{1}{2}dt + \int_2^3 \dfrac{1}{3}dt+\cdots + \int_{[x]-1}^[x] \dfrac{1}{[x]}dt \\[2ex] & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots + \dfrac{1}{[x]} \end{align} En posant $u_n = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots + \dfrac{1}{n}$. On a alors $\ln (x) \geq u_{[x]},$
On peut Montrer que la suite $u_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
On obtient $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln (x)=+\infty$.
$\quad$ En posant $y={1\over x }$ dans l'égalité $\ln (xy) = \ln x + \ln y,$ on obtient $\ln ({1\over x }) = -\ln x$. D'où $\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln (x) = -\displaystyle \lim_{y \to +\infty} \ln (y) = -1\times (+\infty) = -\infty.$

$\quad$ On conclut que la fonction logarithme donne une bijection $$\ln \; : \; ]0, +\infty[ \to \mathbb R. $$ $\quad$ On définit l'exponentielle $\exp \;:\; \mathbb R \to ]0, +\infty[ $ comme la fonction réciproque du logarithme népérien c'est-à-dire $\exp (\ln x) = x$ et $\ln (\exp (y)) = y$ pour tout $x\in ]0, +\infty[$ et $y\in \mathbb R.$

Proposition $3$ Pour tout $x, y\in \mathbb R$, on a l'égalité $$\exp (x+y) = \exp(x).\exp(y)$$
Démonstration. Comme $\ln$ est bijective, il esiste $a, b\in ]0, +\infty[$ tels que $\ln a=x$ et $\ln b = y. $
On sait que $\ln (a.b) = \ln a + \ln b$ donc $\exp (x+y)=\exp (\ln a+\ln b) = \exp (\ln (a.b)) = a.b = \exp(x).\exp(y).$

$\quad$