Théorème des accroissements finis 2bac sm

Publié le dim 03 Déc 2023

Théorème (Théorème de Rolle): Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a\lt b$. Soit $f \;:\; [a,b]\to \mathbb{R}$.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ au moins, et si $f(a)=f(b)$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\prime}(c) = 0.$

Démonstration:

Supposons $f$ continue sur $[a, b]$. Alors l’image par $f$ de ce segment est un segment, disons $[m, M]$ avec $m \lt M$

Si $m=M$ c’est-à-dire si $f$ est constante sur $[a, b]$, alors $f^{\prime}$ est nulle sur $]a,b[.$
Si $m \lt M$, l’un des deux est nécessairement différent de $f(a)$ (et donc aussi de $f(b)$), disons par exemple $M$ (le raisonnement est le même pour $m$). De plus, celui-ci est le maximum de $f$ sur $[a, b]$ (puisque $f$ est continue sur le segment, donc atteint ses bornes). Il existe donc $c\in [a, b]$ tel que $f(c) = M$. Alors déjà $c\neq a$ et $c \neq b$, car $M \neq f(a)$. Donc $c \in]a, b[.$ Donc $f$ est dérivable en $c$, et $f$ atteint un maximum en $c$, donc $f^{\prime}(c) = 0.$

Théorème (des accroissements finis): Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a\lt b$.
Soit $f \;:\; [a,b]\to \mathbb{R}$, continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ au moins. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(b) - f(a) = (b-a)f^{\prime}(c).$

Démonstration:

Soit $\phi$ la fonction affine définie par $$\phi(x) = f(a)+(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad \forall x\in [a,b],$$ et soit $h$ la fonction définie par : $$\; h \;:\; x \mapsto f(x)-\phi(x).$$ Alors $h$ est continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$ au moins, car $f$ et $\phi$ le sont.
On a $h(a) = h(b)$. Il existe alors $c\in]a,b[$ tel que $h^{\prime}(c) = 0$
Or, $\forall x\in ]a,b[, h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)-\phi^{\prime}(x)$
c-à-d $\forall x\in ]a,b[, h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Donc $0 = h^{\prime}(c) = f^{\prime}(c)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a},$
Soit $$f(b) - f(a) = (b-a)f^{\prime}(c).$$

Remarque: Le théorème de Rolle devient maintenant une conséquence évidente du théorème des accroissements finis