6 propriétés des fonctions trigonométriques

➊ Fonctions trigonométriques

$\quad$ On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $O$ et de rayon $1$. Soit $M$ un point de $\mathcal C$. Si on appelle $x$ l'angle de $Ox$ avec $\overrightarrow{OM},$ les coordonnées de $M$ sont $(\cos x, \sin x).$

On a les propriétés des fonctions $sinus$ et $cosinus.$

$\quad 1.$ Le théorème de Pythagore donne $\cos^2x+\sin^2x=1.$

$\quad 2.$ Les fonctions $sinus$ et $cosinus$ sont périodiques de période $2\pi .$

$\quad 3.$ Les fonctions $sinus$ et $cosinus$ sont de classe $\mathcal C^\infty$ et$$\sin^\prime = \cos \quad ,\quad \cos^\prime = -\sin$$ $\quad 4.$ les fonction $\sin \;:\; [-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}] \to [-1, 1]$ et $\cos \;:\; [0, \pi] \to [-1, 1]$ sont des bijections. Leurs fonctions réciproques sont appelées $Arc\;sinus$ et $Arc\;cosinus$: $$\arcsin \;:\; [-1, 1] \to [-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}]\quad ,\quad \arccos \;:\; [-1, 1] \to [0, \pi] .$$ $\quad$ Et on a les dérivées suivantes: $$\arcsin^\prime (x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad , \quad \arccos^\prime (x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $\quad 5.$ On en déduit la relation pour tout $x\in [-1, 1]$ $$\bbox[yellow,10px,border:1px solid red] { \arcsin (x)+\arccos (x) = {\pi \over 2}. } $$ $\quad 6.$ Si $x\in \mathbb C$, on montre que la limite $$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+\cdots +{x^n\over n!}\right) $$ $\quad $existe et noté $\exp x$. On a la formule de Moivre $$\bbox[yellow,10px,border:1px solid red] { e^{ix} =\cos x +i\sin x. } $$