Approximation de $\pi$

Depuis que l'humanité a commencé à examiner des zones et à construire, la nécessité de mesurer des cercles a été importante. Pour cette tâche, nous avons besoin de $\pi$. Comme nous le savons aujourd'hui, $\pi$ est l'un des nombres les plus particuliers. Il n'est pas rationnel, mais plutôt irrationnel, et c'est un type particulier de nombre irrationnel, appelé nombre transcendantal, ce qui signifie qu'il ne peut pas être la solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers.
En effet, ce n'est qu'en 1840 que de tels nombres ont été découverts, et ce des milliers d'années après que les anciens se soient intéressés à ce que $\pi$ pouvait être. Tout le monde savait que $\pi$ était un peu plus grand que trois, mais trouver une approximation précise était une tâche difficile.
Examinons quelques méthodes et approximations issues de différentes civilisations.

ANCIENS EGYPTIENS

"L'aire d'un carré de côté $8$ est égale à celle d'un cercle de diamètre $9$." L'aire de n'importe quel cercle était alors approximée en utilisant la proportion.
$$\dfrac{A}{r^2} = \dfrac{64}{(\dfrac{9}{2})^2} = \dfrac{256}{81}$$.
Le formulaire que nous utilisons aujourd'hui est présenté ci-dessous.
$$A = \dfrac{256}{81}r^2$$.
Coupez chaque coin du carré ayant une côté de longueur 9 divisé horizontalement et verticalement en tiers, comme indiqué dans la figure ci-dessous, et ajoutez les cinq carrés de rayon trois et quatre triangles de la moitié de cette taille pour obtenir $\; 5(3)^2 + 4(\dfrac{1}{2}3^2) = 63$ près de 64. Voir la figure

GRECS ANCIENS

$\pi \simeq \dfrac{22}{7}$ Cette formule incroyablement remarquable a été déterminée par Archimède, le plus grand des mathématiciens de l'Antiquité. Il a pu déterminer les aires de polygones réguliers inscrits et circonscrits de $6, 12, 24, 48$ et $96$ côtés.
De cette façon, il a trouvé un encadrement de $\pi$, l'estimation inférieure étant $\dfrac{223}{71}$.
Voir la figure 2, où sont représentés des polygones de $24$ côtés au maximum. Archimède a découvert une relation très intelligente entre les aires de ces figures et l'augmentation du nombre de côtés. Cela a permis la prodigieuse performance de calcul. Les formules d'Archimède ont été utilisées jusqu'à l'époque moderne pour calculer des approximations toujours plus précises de $\pi$.

CHINOIS ANCIEN

Bien que l'on ne sache pas exactement comment le calcul a été effectué, les Chinois du $5$ siècle nous ont donné l'approximation purement fractionnaire de $\pi$ donnée par $$\dfrac{355 }{113} = 3.14159292$$ Maintenant, à dix chiffres près, $\pi = 3,141592654.$ Vous pouvez donc constater que l'approximation, $\pi - 355 = -0,0000002667$ , est très, très précise. D'autre part, la meilleure approximation après $\dfrac{355 }{113}$ est l'énorme fraction $\dfrac{53228 }{16943}.$

TEMPS MODERNES

La meilleure approximation actuelle de $\pi$ est précise à 1 240 000 000 000 de chiffres. (Cela représente plus d'un trillion de chiffres.) Pour donner une idée du nombre de chiffres, en les tapant tous à $10$ chiffres au centimètre, l'approximation entière parcourrait $1240000$ kilomètre. Cela représente près de $78$ fois le tour de la Terre, ou quatre allers-retours vers la lune!
La méthode utilise une formule complexe impliquant la fonction $\arctan{}$. Elle a été calculée sur un superordinateur HITACHI SR8000/MP sous la direction de Yasumasa Kanada. Voir super-computing.org pour plus d'informations.