Fonction logarithme cours et exercices

A. Fonction logarithme népérien

1. Définition de la fonction ln

Définition

On appelle fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), la primitive de la fonction \( x \mapsto \dfrac{1}{x} \) sur l'intervalle \( ]0\,;+\infty[ \), qui s'annule en \( 1 \), et on a : \[ \forall x \in \,]0\,;+\infty[\;:\quad (\ln)'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad \ln(1) = 0 \]

Conséquences

1. La fonction \( \ln \) est continue et strictement croissante sur l'intervalle \( ]0\,;+\infty[ \).

2. Pour tous réels strictement positifs \( a \) et \( b \), on a :

  a. \( \ln(a) = \ln(b) \;\Longleftrightarrow\; a = b \).

  b. \( \ln(a) < \ln(b) \;\Longleftrightarrow\; a < b \).

  c. \( \ln(a) < 0 \;\Longleftrightarrow\; 0 < a < 1 \).

  d. \( \ln(a) > 0 \;\Longleftrightarrow\; a > 1 \).

3. Soit \( u \) une fonction définie sur un ensemble \( E \). La fonction \( x \mapsto \ln\big(u(x)\big) \) est définie si et seulement si pour tout \( x \) de \( E \) : \( u(x) > 0 \).

2. Propriétés algébriques

Propriété

Soit \( a \) et \( b \) deux réels strictement positifs.

1. \( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \).

2. \( \ln\!\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln(b) \).

3. \( \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \).

4. Pour tout \( r \in \mathbb{Q} \) : \( \ln(a^r) = r\,\ln(a) \).

B. Étude et représentation graphique de la fonction ln

1. Limites de référence

Théorème (1)

\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]

Théorème (2) — Croissances comparées

1. \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \).

2. \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln(x) = 0 \).

3. \( \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1 \).

4. \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1 \).

5. Pour tout entier naturel \( n \) non nul : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n\,\ln(x) = 0 \]

Interprétation : au voisinage de \( +\infty \), la fonction \( \ln \) croît moins vite que toute puissance \( x^n \). On dit que la croissance de \( x^n \) l'emporte sur celle de \( \ln(x) \).

2. Le nombre d'Euler

Propriété

L'équation \( \ln(x) = 1 \), dans l'intervalle \( ]0\,;+\infty[ \), admet une solution unique, notée \( e \), appelée nombre d'Euler, et on écrit : \[ \ln(e) = 1 \] Une valeur approchée du réel \( e \) est : \( e \approx 2{,}718\,281\,828\ldots \)

3. Tableau de variations et courbe représentative de la fonction ln

On note \( (\mathcal{C}_{\ln}) \) la courbe représentative de la fonction \( \ln \).

1. La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0\,;+\infty[ \) car \( (\ln)'(x) = \dfrac{1}{x} > 0 \).

2. Une équation de la tangente à \( (\mathcal{C}_{\ln}) \) au point \( A(1\,;0) \) est : \[ y = x - 1 \] car \( (\ln)'(1) = 1 \) et \( \ln(1) = 0 \).

3. L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à \( (\mathcal{C}_{\ln}) \) car \( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \).

4. La courbe \( (\mathcal{C}_{\ln}) \) présente une branche parabolique de direction de l'axe des abscisses au voisinage de \( +\infty \), car : \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \] 5. La courbe \( (\mathcal{C}_{\ln}) \) est concave car \( \forall x > 0 \) : \( (\ln)''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0 \).

4. Dérivée de la fonction \( x \mapsto \ln\big(u(x)\big) \)

Théorème (1)

Soit \( u \) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \( I \).

La fonction \( f : x \mapsto \ln\big(u(x)\big) \) est dérivable sur \( I \), et on a : \[ \forall x \in I\;:\quad f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]

Théorème (2)

Soit \( u \) une fonction dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle \( I \).

La fonction \( f : x \mapsto \ln\big|u(x)\big| \) est dérivable sur \( I \), et on a : \[ \forall x \in I\;:\quad f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]

Corollaire — Primitives

Soit \( u \) une fonction dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle \( I \).

Les fonctions primitives de la fonction \( x \mapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) sur l'intervalle \( I \) sont les fonctions : \[ x \;\mapsto\; \ln\big|u(x)\big| + \lambda \qquad (\lambda \in \mathbb{R}) \]

C. Autres fonctions logarithmes

1. Fonction logarithme de base \( a \)

Définition

Soit \( a \) un réel strictement positif tel que \( a \neq 1 \).

On appelle fonction logarithme de base \( a \), la fonction notée \( \log_a \), définie sur \( ]0\,;+\infty[ \) par : \[ \log_a(x) \;=\; \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \]

Remarques

• \( \log_a(1) = \dfrac{\ln(1)}{\ln(a)} = 0 \).

• Si \( a = e \), alors \( \log_e(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(e)} = \ln(x) \) : c'est la fonction logarithme népérien.

• Pour tout \( a \in \mathbb{R}_+^*\setminus\{1\} \) : \( \log_a(a) = 1 \)   et   \( \forall r \in \mathbb{Q} \) : \( \log_a(a^r) = r \).

Propriété

Soit \( a \) un réel strictement positif tel que \( a \neq 1 \).
Pour tous réels strictement positifs \( x \) et \( y \) :

1. \( \log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) \).

2. \( \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \).

3. \( \forall r \in \mathbb{Q} \) : \( \log_a(x^r) = r\,\log_a(x) \).

2. Fonction logarithme décimal

Définition

On appelle fonction logarithme décimal, la fonction logarithme de base \( 10 \), notée \( \log \), définie sur \( ]0\,;+\infty[ \) par : \[ \log(x) \;=\; \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \]

Remarques

• \( \log(10) = 1 \).

• \( \forall r \in \mathbb{Q} \) : \( \log(10^r) = r \).