Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

Puisque les franchissements sont indépendants, la probabilité de franchir **tous** les obstacles est le produit des probabilités individuelles :

$$P(\text{tous les obstacles}) = P(O_1) \times P(O_2) \times \cdots \times P(O_n)$$

En substituant $P(O_k) = \frac{1}{2^k}$ :

$$P(\text{tous}) = \frac{1}{2^1} \times \frac{1}{2^2} \times \frac{1}{2^3} \times \cdots \times \frac{1}{2^n}$$

$$= \frac{1}{2^{1+2+3+\cdots+n}}$$

Or, la somme des entiers de 1 à n est :

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Donc :

$$P(\text{tous les obstacles}) = \frac{1}{2^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$