Structures algébriques

Cours sur les groupes, anneaux et corps : définitions, sous-groupe, morphismes de groupes, distributivité, diviseurs de zéro, anneau intègre et propriétés des corps.

Loi de composition interne (LCI)

Définition

Loi de composition interne

On appelle LCI (loi de composition interne) toute application $f$ de $E \times E$ dans $E$. $f(x, y)$ s'appelle le composé de $x$ et $y$ dans cet ordre, pour tout $x, y$ de $E$.

Notation : on note $f(x, y)$ souvent par $x + y$, $x \times y$, $x \top y$, $x \perp y$ ou $x * y$… et si $E$ est muni d'une LCI $*$, on note $(E, *)$.

Exemple

La somme et le produit usuels sont des LCI dans chacun des ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$. On note $(E, +)$ et $(E, \times)$ pour $E \in \{\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions définies sur $I$ à valeurs réelles. La somme et le produit dans $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ sont des LCI telles que, pour tous $x$ de $I$ et $f$, $g$ de $\mathcal{F}(I, \mathbb{R})$ : $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ et $(f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$. On note $(\mathcal{F}(I, \mathbb{R}), +)$ et $(\mathcal{F}(I, \mathbb{R}), \times)$. De plus, $\circ$ est une LCI dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des polynômes ; on a $(\mathcal{P}, +)$, $(\mathcal{P}, \times)$ et $(\mathcal{P}, \circ)$. Soit $n$ de $\mathbb{N}$ ; notons $\mathcal{P}_n = \{P \in \mathcal{P} \ / \ \deg(P) \leq n\}$. On a $(\mathcal{P}_n, +)$, mais $\times$ et $\circ$ ne sont pas des LCI (sur $\mathcal{P}_n$).
Soit $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$. On a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ et $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \times)$ telles que $\bar{x} + \bar{y} = \overline{x + y}$ et $\bar{x} \times \bar{y} = \overline{x \times y}$.

Définition

Matrice carrée d'ordre n

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle matrice carrée réelle d'ordre $n$ tout tableau de dimensions $n \times n$ de la forme :

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \ ; \quad a_{ij} \in \mathbb{R}, \ \forall i, j \in \{1, 2, \dots, n\}$$

En particulier :

$$\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ; (a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4\right\}$$ $$\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) = \left\{\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} ; (a, b, c, d, e, f, g, h, i) \in \mathbb{R}^9\right\}$$

Définition

Partie stable pour une LCI

Soient $(E, *)$ et $H$ une partie de $E$. On dit que $H$ est une partie stable pour $*$ si, pour tous $x$ et $y$ de $H$, on a $x * y \in H$.

Définition

Soit $H$ une partie stable de $(E, *)$. L'application $g : H \times H \to H$, $(x, y) \mapsto x * y$ est une LCI dans $H$ ; elle s'appelle la loi induite de $*$ (définie sur $E$).

Définition

Propriétés d'une LCI

Soit $(E, *)$ :

Associativité : $*$ est associative si et seulement si $(x * y) * z = x * (y * z)$, $\forall x, y, z \in E$.
Commutativité : $*$ est commutative si et seulement si $x * y = y * x$, $\forall x, y \in E$.
Élément neutre : $*$ possède un élément neutre $e$ si et seulement si $x * e = e * x = x$, $\forall x \in E$ (unicité).
Symétrique d'un élément : on suppose que $*$ possède un élément neutre $e$ dans $E$. On dit que $x$ de $E$ a un symétrique dans $(E, *)$ si et seulement s'il existe $x'$ de $E$ tel que $x * x' = x' * x = e$ (unicité si $*$ est associative).
Élément simplifiable (régulier) : $a$ est régulier dans $(E, *)$ si et seulement si $\forall (x, y) \in E^2$ : $\begin{cases} x * a = y * a \Rightarrow x = y \\ a * x = a * y \Rightarrow x = y \end{cases}$
Élément absorbant : $a$ est absorbant dans $(E, *)$ si et seulement si $\forall x \in E$ : $x * a = a$ et $a * x = a$.

[À VÉRIFIER] Pour l'élément absorbant, le PDF imprime $x * a = e$ et $a * x = e$ ; la définition standard (retenue ici) est $x * a = a * x = a$, l'élément absorbant étant $a$ lui-même.

Définition

Morphisme, isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

Soient $(E, *)$ et $(F, \top)$ :

Toute application $f : E \to F$ telle que $f(x * y) = f(x) \top f(y)$ pour tout $(x, y)$ de $E^2$ s'appelle un morphisme de $(E, *)$ dans $(F, \top)$ (aussi appelé homomorphisme).
Si de plus $f$ est bijective, alors $f$ s'appelle un isomorphisme de $(E, *)$ dans $(F, \top)$.
Tout morphisme de $(E, *)$ dans $(E, *)$ s'appelle un endomorphisme.
Tout endomorphisme bijectif s'appelle un automorphisme.

Propriété

Soit $f$ un morphisme de $(E, *)$ dans $(F, \top)$ :

$f(E)$ est une partie stable de $(F, \top)$.
Si $*$ est associative dans $E$, alors $\top$ est associative dans $f(E)$.
Si $*$ est commutative dans $E$, alors $\top$ est commutative dans $f(E)$.
Si $e$ est l'élément neutre de $(E, *)$, alors $f(e)$ est l'élément neutre de $(f(E), \top)$.
Si $*$ admet un élément neutre dans $E$ et $x'$ est le symétrique de $x$ dans $(E, *)$, alors $f(x)$ est symétrisable dans $(f(E), \top)$ et son symétrique est $f(x')$.

Remarque

Soit $f$ un morphisme de $(E, *)$ dans $(F, \top)$ :

$f$ transmet les propriétés de $*$ dans $E$ à $\top$ dans $f(E)$.
Si $f$ est surjective, alors $f(E) = F$ ; donc $f$ transmet les propriétés de $*$ dans $E$ à $\top$ dans $F$.

Groupe - Anneau - Corps

Définition

Groupe

Soit $(G, *)$. On dit que $(G, *)$ est un groupe si :

la loi $*$ est associative ;
la loi $*$ admet un élément neutre dans $G$ ;
tout élément de $G$ a un symétrique dans $(G, *)$.

Si de plus $*$ est commutative, on dit que $(G, *)$ est un groupe commutatif (ou abélien). Si $G$ contient un nombre fini d'éléments, on dit que $(G, *)$ est un groupe fini.

Propriété

Soit $(G, *)$ un groupe et $e$ son élément neutre :

Chaque élément de $G$ a un unique symétrique $x'$ dans $(G, *)$.
Pour tous $x$ et $y$ de $G$ : $(x * y)' = y' * x'$.
Tout élément de $G$ est simplifiable.
Soient $a, b \in G$. L'équation $a * x = b$ admet une unique solution dans $G$ : $x = a' * b$.

Proposition

Soit $(G, *)$ un groupe et $e$ son élément neutre. Pour tout $(a, b) \in G^2$, l'équation $a * x = b$ admet une unique solution dans $G$, qui est $x = a' * b$.

Définition

Sous-groupe

Soient $(G, *)$ un groupe et $H$ une partie non vide de $G$. On dit que $(H, *)$ est un sous-groupe de $(G, *)$ si $(H, *)$ est un groupe.

Proposition

Caractérisation d'un sous-groupe

$$(H, *) \text{ est un sous-groupe de } (G, *) \iff \begin{cases} 1.\ H \neq \varnothing \text{ et } H \subset G \\ 2.\ H \text{ est stable par } * \\ 3.\ H \text{ est stable par passage au symétrique} \end{cases}$$ $$\iff \begin{cases} 1.\ H \neq \varnothing \text{ et } H \subset G \\ 2.\ x * y \in H, \ \forall (x, y) \in H^2 \\ 3.\ x' \in H, \ \forall x \in H \end{cases} \iff \begin{cases} 1.\ H \neq \varnothing \text{ et } H \subset G \\ 2.\ x * y' \in H, \ \forall (x, y) \in H^2 \end{cases}$$

Proposition

Morphismes de groupes

Soient $(G, *)$ et $(K, \top)$ deux groupes et $f$ un morphisme de $(G, *)$ dans $(K, \top)$ :

Si $e$ est l'élément neutre de $(G, *)$, alors $f(e) = e'$ est l'élément neutre de $(K, \top)$.
$(f(G), \top)$ est un groupe.
Si de plus $(G, *)$ est un groupe abélien, alors $(f(G), \top)$ est un groupe abélien.

Définition

Distributivité

Supposons que $A$ est muni de deux LCI $*$ et $\top$. On dit que $\top$ est distributive sur $*$ si et seulement si :

$$\begin{cases} (1) : x \top (y * z) = (x \top y) * (x \top z) \\ (2) : (y * z) \top x = (y \top x) * (z \top x) \end{cases} \ ; \quad \forall (x, y, z) \in A^3$$

Remarque : si $\top$ est commutative, alors l'une des relations (1) et (2) suffit.

Définition

Anneau (unitaire, commutatif)

Supposons que $A$ est muni de deux LCI $*$ et $\top$ :

On dit que $(A, *, \top)$ est un anneau si et seulement si : $\begin{cases} 1.\ (A, *) \text{ est un groupe abélien} \\ 2.\ \top \text{ est associative dans } A \\ 3.\ \top \text{ est distributive sur } * \end{cases}$
On dit que $(A, *, \top)$ est un anneau unitaire si $(A, *, \top)$ est un anneau et $\top$ possède un élément neutre.
On dit que $(A, *, \top)$ est un anneau commutatif si $(A, *, \top)$ est un anneau et $\top$ est commutative.

Exemple

$(\mathbb{R}, +, \times)$ est un anneau commutatif unitaire.

Proposition

Règles de calcul dans un anneau unitaire

Soit $(A, *, \top)$ un anneau unitaire. On a, pour tout $(x, y) \in A$, les propriétés suivantes :

$0_A \top x = x \top 0_A = 0_A$
$(-1_A) \top x = x \top (-1_A) = -x$
$(-x) \top y = x \top (-y) = -(x \top y)$
$(-x) \top (-y) = x \top y$

Définition

Soit $(A, *, \top)$ un anneau et $x \in A \setminus \{0_A\}$. On dit que $x$ est un diviseur de zéro dans l'anneau $A$ s'il existe $y \in A \setminus \{0_A\}$ tel que :

$$x \top y = 0_A \quad \text{ou} \quad y \top x = 0_A$$

Remarque : un anneau $(A, *, \top)$ n'admet aucun diviseur de zéro signifie que $(\forall (x, y) \in A^2) : x \top y = 0_A \iff x = 0_A$ ou $y = 0_A$.

Définition

Anneau intègre

On dit qu'un anneau $(A, *, \top)$ est intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro.

Proposition

Soit $(A, *, \top)$ un anneau et $x \in A$. Si $x$ est inversible dans $(A, \top)$, alors $x$ n'est pas un diviseur de zéro dans l'anneau $(A, *, \top)$.

Définition

Corps

On appelle corps tout anneau unitaire $(K, *, \top)$ non réduit à zéro tel que tout élément autre que zéro est inversible pour la loi $\top$. Un corps est dit commutatif si la deuxième loi est commutative.

Exemple

$(\mathbb{Q}, +, \times)$, $(\mathbb{R}, +, \times)$ et $(\mathbb{C}, +, \times)$ sont des corps commutatifs.

Proposition

caractérisation

Soit $(K, *, \top)$ un ensemble muni de deux LCI. $(K, *, \top)$ est un corps si et seulement si on a les trois axiomes :

$$\begin{cases} (1)\ (K, *) \text{ est un groupe commutatif} \\ (2)\ (K \setminus \{0_K\}, \top) \text{ est un groupe} \\ (3)\ \text{la loi } \top \text{ est distributive par rapport à la loi } * \end{cases}$$

Proposition

Soit $(K, *, \top)$ un corps. On a les propriétés suivantes :

Tout élément de $K \setminus \{0_K\}$ est régulier pour $\top$.
$(K, *, \top)$ est un anneau intègre.
Pour tous $(a, b) \in K \setminus \{0_K\} \times K$ : $a \top x = b \iff x = a' \top b$ et $x \top a = b \iff x = b \top a'$.

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