Exemples résolus
Des exercices de maths du lycée (Tronc Commun, 1bac, 2bac) résolus pas à pas par le professeur. Abonne-toi pour résoudre les tiens, en quelques secondes.
Passer à Premium — 99 DH/an
Exemple
Limites et continuité · 1ère Bac - 2ème Bac · difficulté 5/10
Calculer la limite suivante :
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)
\]
Pour calculer cette limite, on multiplie et divise par la quantité conjuguée :
$$\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$
En développant le numérateur :
$$= \lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$
On divise numérateur et dénominateur par $x$ (et comme $x\to+\infty$, $x>0$) :
$$= \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{\frac{x^2+3x}{x^2}}+1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}$$
Quand $x\to+\infty$, $\frac{3}{x}\to 0$ :
$$= \frac{3}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$$
Donc : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) = \frac{3}{2}}$$
En bref : Cette limite présente une indétermination de type $(+\infty - \infty)$. On la lève en utilisant la technique classique de la quantité conjuguée, qui transforme la différence en quotient où on peut appliquer les règles de limite à l'infini.
Exemple
Étude de fonctions et dérivation · 2 Bac SM · difficulté 5/10
Soit la fonction
\[
f(x)=\frac{x+\ln x}{x},\qquad x>0.
\]
Étudier les variations de \(f\).
**Étape 1 : Domaine de définition**
La fonction $f(x) = \frac{x + \ln x}{x}$ est définie pour $x > 0$.
**Étape 2 : Calcul de la dérivée**
On réécrit d'abord : $f(x) = 1 + \frac{\ln x}{x}$
Pour dériver $\frac{\ln x}{x}$, on utilise la règle du quotient :
$$\left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
Donc :
$$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
**Étape 3 : Étude du signe de $f'(x)$**
Le dénominateur $x^2 > 0$ pour tout $x > 0$.
Le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $1 - \ln x$ :
- $1 - \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x < 1 \Leftrightarrow x < e$
- $1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = e$
- $1 - \ln x < 0 \Leftrightarrow x > e$
**Étape 4 : Tableau de variations**
$$\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0^+ & & e & & +\infty \\
\hline
f'(x) & & + & 0 & - & \\
\hline
f(x) & & \nearrow & f(e) & \searrow & \\
\hline
\end{array}$$
**Étape 5 : Valeur au maximum**
$$f(e) = \frac{e + \ln e}{e} = \frac{e + 1}{e} = 1 + \frac{1}{e}$$
**Conclusion :**
- $f$ est **croissante** sur $]0, e[$
- $f$ atteint un **maximum** en $x = e$ avec $f(e) = 1 + \frac{1}{e}$
- $f$ est **décroissante** sur $]e, +\infty[$
En bref : On dérive $f$ en utilisant la règle du quotient. Le signe de la dérivée dépend du numérateur $1 - \ln x$, qui change de signe en $x = e$. La fonction croît jusqu'à $e$, atteint un maximum, puis décroît.
Exemple
Suites numériques - Convergence et bornitude · 1ère Bac / 2ème Bac · difficulté 3/10
une suite convergente est l majorée?
**Théorème** : Toute suite convergente est majorée (et minorée).
**Démonstration** :
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers une limite $l \in \mathbb{R}$.
Par définition de la convergence, pour $\varepsilon = 1 > 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :
$$\forall n \geq N : |u_n - l| < 1$$
Cela signifie :
$$\forall n \geq N : l - 1 < u_n < l + 1$$
Pour les termes initiaux $(u_0, u_1, \ldots, u_{N-1})$, qui sont en nombre fini, on peut trouver leur maximum $M_1$ et leur minimum $m_1$.
Alors, en posant $M = \max(M_1, l+1)$, on a :
$$\forall n \in \mathbb{N} : u_n \leq M$$
De même, on peut montrer que la suite est minorée.
**Conclusion** : Une suite convergente est à la fois majorée et minorée, donc elle est bornée.
En bref : Une suite convergente se stabilise autour d'une limite finie, donc elle reste enfermée dans un intervalle borné au-delà d'un certain rang. En combinant ce comportement avec le nombre fini de termes initiaux, on conclut que la suite est majorée.