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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
\( f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4} \)

1Domaine de définition

\( D_f = \left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left]-2\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

2Parité

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f(-x) = f(x) \)
Donc la fonction f est paire. La courbe (C_f) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)

4Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = -2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \)
Donc La droite d'équation \( y = 1 \) est une asymptote horizontale à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)
Donc La droite d'équation \( y = 1 \) est une asymptote horizontale à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

5Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = - \frac{10 x}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} \)

6Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = 0 \)
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \| & + & 0 & - & \| & - & \end{array} \]
D'où :
\( f \text{ est croissante sur } \left]-\infty\,;\,-2\right[ \)
\( f \text{ est croissante sur } \left]-2\,;\,0\right[ \)
\( f \text{ est décroissante sur } \left]0\,;\,2\right[ \)
\( f \text{ est décroissante sur } \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

7Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \| & + & 0 & - & \| & - & \\ \hline f(x) & 1 & \nearrow & +\infty\;\|\;-\infty & \nearrow & - \frac{1}{4} & \searrow & -\infty\;\|\;+\infty & \searrow & 1 \end{array} \]

Maximum en \( x = 0 \), \( f(x) = - \frac{1}{4} \).

8Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = \frac{10 \left(3 x^{2} + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 2\right)^{3}} \)
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & + & \| & - & \| & + & \\ \hline (C_f) & & \cup & & \cap & & \cup & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \text{ est convexe sur } \left]-\infty\,;\,-2\right[ \)
\( (C_f) \text{ est concave sur } \left]-2\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \text{ est convexe sur } \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

9Courbe représentative

−4−224−4−22468max
La tangente au point d'abscisse \( x = 0 \) est horizontale, d'équation \( y = - \frac{1}{4} \).

Points d'intersection avec l'axe des abscisses

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \text{ n'a pas de solution} \)
Alors la courbe \( (C_f) \) ne coupe pas l'axe des abscisses.