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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
\( f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 2} \)

1Domaine de définition

\( D_f = \left]-\infty\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

2Parité

On a :
\( D_f \text{ n'est pas symétrique par rapport à } 0 \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire : son domaine n'est pas symétrique par rapport à 0.

3Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

4Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - x\right) = 2 \)
Donc La droite d'équation \( y = x + 2 \) est une asymptote oblique à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = 2 \)
Donc La droite d'équation \( y = x + 2 \) est une asymptote oblique à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

5Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} \)

6Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = 2 - \sqrt{3} \text{ ou } x = \sqrt{3} + 2 \)
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & 2 - \sqrt{3} & & 2 & & \sqrt{3} + 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( f \text{ est croissante sur } \left]-\infty\,;\,2 - \sqrt{3}\right[ \)
\( f \text{ est décroissante sur } \left]2 - \sqrt{3}\,;\,2\right[ \)
\( f \text{ est décroissante sur } \left]2\,;\,\sqrt{3} + 2\right[ \)
\( f \text{ est croissante sur } \left]\sqrt{3} + 2\,;\,+\infty\right[ \)

7Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & 2 - \sqrt{3} & & 2 & & \sqrt{3} + 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 4 - 2 \sqrt{3} & \searrow & -\infty\;\|\;+\infty & \searrow & 2 \sqrt{3} + 4 & \nearrow & +\infty \end{array} \]

Maximum en \( x = 2 - \sqrt{3} \), \( f(x) = 4 - 2 \sqrt{3} \).
Minimum en \( x = \sqrt{3} + 2 \), \( f(x) = 2 \sqrt{3} + 4 \).

8Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = \frac{6}{\left(x - 2\right)^{3}} \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & - & \| & + & \\ \hline (C_f) & & \cap & & \cup & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \text{ est concave sur } \left]-\infty\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \text{ est convexe sur } \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

9Courbe représentative

−2246−5510maxmin
La tangente au point d'abscisse \( x = 2 - \sqrt{3} \) est horizontale, d'équation \( y = 4 - 2 \sqrt{3} \).
La tangente au point d'abscisse \( x = \sqrt{3} + 2 \) est horizontale, d'équation \( y = 2 \sqrt{3} + 4 \).

Points d'intersection avec l'axe des abscisses

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 1 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en deux points : \( A\left(-1\,;\,0\right) \), \( B\left(1\,;\,0\right) \).