Nombres complexes

Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, équations, racines n-ièmes et géométrie des affixes. Calcul exact, gratuit.

(1+i√3)/(1+i) z^2-(3+i)z+2+2i = 0 z^3 = 8 (1+i)^10 z' = (1+i)z - i A(1+5i) ; E(1) ; F(-1+i)

Forme algébrique, module et argument

\( \dfrac{\left(1 - i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} \)

Réponse

\[ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{2} = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) \]

Les trois écritures

Forme algébrique \[ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{2} \] Forme trigonométrique \[ \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) \] Forme exponentielle \[ \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{12}} \] Conjugué \[ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{i \left(1 - \sqrt{3}\right)}{2} \]

Dans le plan complexe

Voir la méthode

On écrit le nombre sous forme algébrique : \[ z = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{2} \]

Son module vaut : \[ \left|z\right| = \sqrt{\dfrac{\left(-1 + \sqrt{3}\right)^{2}}{4} + \dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^{2}}{4}} = \sqrt{2} \]

On cherche \( \theta = \arg(z) \) tel que : \[ \cos\theta = \dfrac{\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} \]

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