Nombres complexes

Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, équations, racines n-ièmes et géométrie des affixes. Calcul exact, gratuit.

(1+i√3)/(1+i) z^2-(3+i)z+2+2i = 0 z^3 = 8 (1+i)^10 z' = (1+i)z - i A(1+5i) ; E(1) ; F(-1+i)

Racines n-ièmes

\( \dfrac{\left(1 - i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} \)

Réponse

\[ z \in \left\{\sqrt[6]{2} \cos{\left(\dfrac{\pi}{36} \right)} + \sqrt[6]{2} i \sin{\left(\dfrac{\pi}{36} \right)} \ ; \ - \sqrt[6]{2} \sin{\left(\dfrac{7 \pi}{36} \right)} + \sqrt[6]{2} i \cos{\left(\dfrac{7 \pi}{36} \right)} \ ; \ - \sqrt[6]{2} \sin{\left(\dfrac{5 \pi}{36} \right)} - \sqrt[6]{2} i \cos{\left(\dfrac{5 \pi}{36} \right)}\right\} \]

Dans le plan complexe

Voir la méthode

On écrit le second membre sous forme trigonométrique : \[ \frac{\left(1 - i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) \]

Les 3 racines 3-ièmes sont, pour \( k \in \{0, 1, \ldots, 2\} \) : \[ z_k = \sqrt[6]{2}\left(\cos\dfrac{\frac{\pi}{12} + 2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{\frac{\pi}{12} + 2k\pi}{3}\right) \]

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