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Suites numériques

Premiers termes, nature, terme général, monotonie, limite et somme. Calcul exact, gratuit.

u(n+1) = 2u(n) + 3 ; u0 = 2 u(n+1) = (4u(n)-6)/(u(n)-1) ; u0 = 0 u(n+1) = (3u(n)-1)/(u(n)+1) ; u0 = 3 u(n+1) = u(n) + 5 ; u0 = 1 u_n = (3n+1)/(n+2)
Solution
\( u_{n+1} = u_{n} + 5 \quad ; \quad u_{0} = 1 \)

1Premiers termes

On calcule de proche en proche :
\[ \begin{array}{c|c}\hline n & u_n \\\hline 0 & 1 \\ 1 & 6 \\ 2 & 11 \\ 3 & 16 \\ 4 & 21 \\ 5 & 26 \\\hline\end{array} \]

2Monotonie

On étudie le signe de la différence : \[ u_{n+1} - u_n = 5 \]
Donc \( (u_n) \) est croissante.

3Nature de la suite

\( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r = 5 \) et de premier terme \( u_{0} = 1 \).

4Terme général

On calcule la différence de deux termes consécutifs : \[ u_{n+1} - u_n = 5 \]
d'où, par la formule du terme général : \[ u_n = u_{0} + (n)\,r \]
Pour tout \( n \geq 0 \) : \[ u_n = 5 n + 1 \]

5Convergence et limite

\[ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \]
La suite \( (u_n) \) diverge vers \( +\infty \).

6Somme des premiers termes

On a \( (u_n) \) arithmétique de raison \( r = 5 \), donc : \[ S_n = \dfrac{n + 1}{2}\left(u_{0} + u_n\right) \]
En remplaçant : \[ S_n = \dfrac{5 n^{2}}{2} + \dfrac{7 n}{2} + 1 \]
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = \dfrac{\left(n + 1\right) \left(5 n + 2\right)}{2} \)