Espaces vectoriels réels

Cours sur les espaces vectoriels : loi de composition externe, sous-espace vectoriel, combinaison linéaire, familles libres et liées, base, coordonnées et dimension.

Définition

Loi de composition externe

Soient $E$ et $A$ deux ensembles non vides. Toute application $f : A \times E \to E$, $(\alpha ; x) \mapsto f(\alpha ; x)$ s'appelle une loi de composition externe sur $E$ à coefficients dans $A$. L'élément $f(\alpha ; x)$ de $E$ s'appelle le composé de $\alpha$ et $x$ dans cet ordre par cette loi de composition externe $f$ ; on le note $\alpha.x$ ou $\alpha x$ au lieu de $f(\alpha ; x)$. En général on prend $A = \mathbb{R}$ ou $A = \mathbb{C}$, ou $A$ un corps.

Définition

Espace vectoriel

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$ et d'une loi de composition externe à coefficients dans $\mathbb{R}$ : $. : \mathbb{R} \times E \to E$, $(\alpha ; x) \mapsto \alpha.x$. On dit que $(E ; * ; .)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ (ou espace vectoriel réel) si les lois vérifient les propriétés suivantes :

$(E ; *)$ est un groupe commutatif ;
$\forall (\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall x \in E : (\alpha + \beta).x = \alpha.x * \beta.x$ ;
$\forall (\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall x \in E : (\alpha \times \beta).x = \alpha.(\beta.x)$ ;
$\forall (x ; y) \in E^2, \ \forall \alpha \in \mathbb{R} : \alpha.(x * y) = \alpha.x * \alpha.y$ ;
$\forall x \in E : 1.x = x$.

Les éléments de $E$ sont des vecteurs (notés $\vec{x}$ ou $x$) ; les éléments de $\mathbb{R}$ sont des scalaires. L'élément neutre de $(E ; *)$ est noté $\vec{0}$, $0_E$ ou $0$.

Exemple

Exemples d'espaces vectoriels

L'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ : $(\mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) ; + ; .)$.
Le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ : un élément $u \in \mathbb{R}^2$ est un couple $(x, y)$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ ; $\mathbb{R}^2 = \{(x ; y) \ / \ x \in \mathbb{R} ; y \in \mathbb{R}\}$ et $(\mathbb{R}^2 ; + ; .)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
L'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à un entier naturel $n$, noté $\mathbb{R}_n[X]$ : $(\mathbb{R}_n[X] ; + ; .)$.
L'ensemble des matrices carrées d'ordre 3, $M_3(\mathbb{R})$ : $(M_3(\mathbb{R}) ; + ; .)$ ; de même $(M_2(\mathbb{R}) ; + ; .)$.
L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
L'ensemble des fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
$\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Tous ces exemples sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$.

Remarque

Notation vectorielle

Avec la notation $(E ; + ; .)$, les cinq axiomes de l'espace vectoriel réel s'écrivent :

$(E ; +)$ est un groupe commutatif ;
$\forall (\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall \vec{x} \in E : (\alpha + \beta)\vec{x} = \alpha\vec{x} + \beta\vec{x}$ ;
$\forall (\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall \vec{x} \in E : (\alpha \times \beta)\vec{x} = \alpha(\beta\vec{x})$ ;
$\forall (\vec{x} ; \vec{y}) \in E^2, \ \forall \alpha \in \mathbb{R} : \alpha(\vec{x} + \vec{y}) = \alpha\vec{x} + \alpha\vec{y}$ ;
$\forall \vec{x} \in E : 1\vec{x} = \vec{x}$.

Propriété

Règles de calcul dans un espace vectoriel

Soit $(E ; + ; .)$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. Pour tout $(\vec{x} ; \vec{y}) \in E^2$ et tout $(\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2$ :

$0\vec{x} = \vec{0}$ ; $\quad \alpha\vec{0} = \vec{0}$ ; $\quad -1\vec{x} = -\vec{x}$
$(-\alpha)\vec{x} = \alpha(-\vec{x}) = -(\alpha\vec{x})$
$\alpha(\vec{x} - \vec{y}) = \alpha\vec{x} - \alpha\vec{y}$ ; $\quad (\alpha - \beta)\vec{x} = \alpha\vec{x} - \beta\vec{x}$
$\alpha\vec{x} = \vec{0} \iff \vec{x} = \vec{0}$ ou $\alpha = 0$

L'opération qui à $(\vec{x} ; \vec{y})$ associe $\vec{x} + (-\vec{y})$ s'appelle la soustraction ; le vecteur $\vec{x} + (-\vec{y})$ est noté $\vec{x} - \vec{y}$.

Définition

Sous-espace vectoriel

Soit $(E, +, .)$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et $F$ un sous-ensemble de $E$. On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $(F, +, .)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ (pour les mêmes lois que celles de $E$, plus précisément pour les lois induites dans $F$ par celles de $E$).

Théorème

Soit $(E, +, .)$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et $F$ un ensemble. $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

$F$ est inclus dans $E$ ;
$F$ est non vide ;
$F$ est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire : $\forall (x, y) \in F^2, \ \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \ (\lambda.x + \mu.y) \in F$.

Définition

Combinaison linéaire

Soit $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et une famille de $n$ vecteurs $\vec{x_1} ; \vec{x_2} ; \dots ; \vec{x_n}$ de $E$. Une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille est un vecteur $\vec{x}$ de $E$ qui s'écrit :

$$\vec{x} = \alpha_1 \vec{x_1} + \alpha_2 \vec{x_2} + \dots + \alpha_n \vec{x_n} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{x_i}$$

où les $\alpha_i$ sont des scalaires (réels) appelés les coefficients de la combinaison linéaire. On dit aussi que le vecteur $\vec{x}$ est engendré par la famille $(\vec{x_i})_{1 \leq i \leq n}$.

Définition

Famille génératrice

Soit $B = (\vec{x_1} ; \vec{x_2} ; \dots ; \vec{x_n})$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que la famille $B$ engendre $E$ si et seulement si :

$$\forall \vec{x} \in E, \ \exists (\alpha_1 ; \alpha_2 ; \dots ; \alpha_n) \in \mathbb{R}^n \ \text{tel que} \ \vec{x} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{x_i}$$

Théorème

Sous-espace engendré par une famille

Soit $\{\vec{x_1} ; \vec{x_2} ; \dots ; \vec{x_n}\}$ un ensemble fini de vecteurs d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$. Alors :

L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $\{\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ;
c'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ (au sens de l'inclusion) contenant ces vecteurs.

Ce sous-espace est appelé sous-espace engendré par $\{\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n}\}$ et noté $\operatorname{Vect}(\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n})$. On a :

$$\vec{x} \in \operatorname{Vect}(\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n}) \iff \exists \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{R} \ ; \ \vec{x} = \lambda_1 \vec{x_1} + \dots + \lambda_n \vec{x_n}$$

Plus généralement, on peut définir le sous-espace vectoriel engendré par une partie $V$ quelconque (non nécessairement finie) : $\operatorname{Vect} V$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $V$. Pour un seul vecteur, $\operatorname{Vect}(\vec{x_1}) = \{\lambda \vec{x_1} \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$, souvent noté $\mathbb{R}\vec{x_1}$ ; si $\vec{x_1} \neq \vec{0}$, on parle d'une droite vectorielle.

Définition

Familles libres et familles liées

Soient $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $n$ un entier naturel non nul.

La famille $B = (\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n}) \in E^n$ est liée (les vecteurs sont linéairement dépendants) si et seulement si :

$$\exists (\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n) \in \mathbb{R}^n \ ; \ \alpha_1 \vec{x_1} + \dots + \alpha_n \vec{x_n} = \vec{0} \ \text{et} \ (\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n) \neq (0 ; 0 ; \dots ; 0)$$

Une telle relation s'appelle une relation de dépendance linéaire. La famille $B$ est libre (vecteurs linéairement indépendants) si et seulement si :

$$\alpha_1 \vec{x_1} + \dots + \alpha_n \vec{x_n} = \vec{0} \ \Rightarrow \ \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$$

La famille $B$ est dite liée si et seulement si elle n'est pas libre.

Proposition

La famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs de la famille s'écrit comme combinaison linéaire des autres.
Si une famille comporte le vecteur nul ou deux fois le même vecteur, la famille est liée.
Si une famille $B$ est liée, alors toute famille qui contient $B$ est liée.
Si une famille $B$ est libre, alors toute partie de $B$ est libre.
Si une famille $B$ est libre, alors les vecteurs de cette famille sont non nuls.

Définition

Base

Soit $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $B = (\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n})$ une famille de vecteurs de $E$. $B$ est une base si et seulement si tout élément de $E$ s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire des éléments de $B$, c'est-à-dire :

$$\forall \vec{x} \in E, \ \exists ! (\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n) \in \mathbb{R}^n \ ; \ \vec{x} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{x_i}$$

Le $n$-uplet $(\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n)$ s'appelle les coordonnées de $\vec{x}$ dans la base $B$, et on écrit $\vec{x} = (\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n)_B$.

Proposition

Soit $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, $B = (\vec{x_1} ; \dots ; \vec{x_n})$ une base de $E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.

Si $(\alpha_1 ; \dots ; \alpha_n)$ sont les coordonnées de $\vec{x}$ et $(\beta_1 ; \dots ; \beta_n)$ celles de $\vec{y}$ dans $B$, alors $(\alpha_1 + \beta_1 ; \dots ; \alpha_n + \beta_n)$ sont les coordonnées de $\vec{x} + \vec{y}$, et $(\lambda\alpha_1 ; \dots ; \lambda\alpha_n)$ sont les coordonnées de $\lambda\vec{x}$ dans $B$.
$B$ est une base de $E$ si et seulement si c'est une famille libre et génératrice de $E$.

Définition

Dimension d'un espace vectoriel réel

Soit $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Si $E$ admet une base comportant un nombre fini de $n$ vecteurs ($n \in \mathbb{N}^*$), on appelle dimension de $E$ le nombre $n$, qui est le même pour toutes les bases de $E$ ; on écrit $\dim E = n$.

Propriété

Soit $(E, +, .)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Si $\dim E = 2$ et $R = (\vec{i} ; \vec{j})$ une base de $E$, la famille $B = (\vec{u_1} ; \vec{u_2})$ est une base de $E$ si et seulement si elle est libre. Si $\vec{u_1} = x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j}$ et $\vec{u_2} = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}$ et :

$$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} \neq 0 \quad \text{alors } B = (\vec{u_1} ; \vec{u_2}) \text{ est libre.}$$

Si $\dim E = 3$ et $R = (\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})$ une base de $E$, la famille $B = (\vec{u_1} ; \vec{u_2} ; \vec{u_3})$ est une base de $E$ si et seulement si elle est libre. Si $\vec{u_1} = x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j} + z_1 \vec{k}$, $\vec{u_2} = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j} + z_2 \vec{k}$, $\vec{u_3} = x_3 \vec{i} + y_3 \vec{j} + z_3 \vec{k}$ et :

$$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} \neq 0 \quad \text{alors } B = (\vec{u_1} ; \vec{u_2} ; \vec{u_3}) \text{ est libre.}$$

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