Exercices corrigés : Dérivation et étude des fonctions, série 2 2 bac PC et SVT

La pente de la droite d’équation $y=x$ est $1$

Donc la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $a$ est perpendiculaire à cette droite si $f'(a)=-1$

On a :

$$f'(x)=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}}{(x+2)^2}=\dfrac{-1}{(x+2)^2}$$

$$\begin{aligned} &f'(a)=-1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{-1}{(a+2)^2}=-1 \\ &\Leftrightarrow (a+2)^2=1 \end{aligned}$$

$\Leftrightarrow a+2=1$ ou $a+2=-1$

$\Leftrightarrow a=-1$ ou $a=-3$

La réponse juste est : C

La pente de la droite d’équation $y=x$ est $1$

Donc la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $a$ est parallèle à cette droite si $f'(a)=1$

On a :

$$f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$

$$\begin{aligned} &f'(a)=1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{a^2+2a-1}{(a+1)^2}=1 \\ &\Leftrightarrow a^2+2a-1=(a+1)^2 \\ &\Leftrightarrow (a+1)^2-2=(a+1)^2 \\ &\Leftrightarrow -2=0 \end{aligned}$$

Donc l’équation n’admet pas de solution : $S=\emptyset$

La réponse juste est : E

On a $(\forall x\in \mathbb{R}) : f(2x-1)=x^2+3x$, donc pour $x=1$ on trouve $f(1)=4$

Et on a $f(2x-1)=x^2+3x$, donc $(2x-1)'f'(2x-1)=2x+3$

Donc $2f'(2x-1)=2x+3$, donc pour $x=1$ on trouve $2f'(1)=5$, donc $f'(1)=\dfrac{5}{2}$

D’où $f(1)+f'(1)=4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{13}{2}$

La réponse juste est : D

On a $f(x)=1+x+x^2+\dots +x^n$

Donc $f(1)=1+1+1^2+\dots +1^n=n+1$

$$f^{'}(x)=1+2x+3x^2+\dots +nx^{n-1}$$

Donc $f'(1)=1+2+3+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

L’équation réduite de la tangente à $(C)$ au point d’abscisse $1$ est :

$$(T):y=f'(1)(x-1)+f(1)$$

Donc $(T):y=\dfrac{n(n+1)}{2}(x-1)+(n+1)$

Donc $(T):y=\dfrac{n(n+1)}{2}x-\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}$

Donc $(T):y=\dfrac{n(n+1)}{2}x-\left(\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{2(n+1)}{2} \right)$

Donc $(T):y=\dfrac{n(n+1)}{2}x-\dfrac{(n+1)(n-2)}{2}$

La réponse juste est : A