Exercices corrigés : Équations différentielles 2 bac PC et SVT

$f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y''+2y'+4y=0$

Donc $f''(x)+2f'(x)+4f(x)=0$, donc $2f''(x)+2\times 2f'(x)+2\times 4f(x)=0$

Donc $(2f)''(x)+2\times (2f)'(x)+4\times (2f)(x)=0$, donc $g''(x)+2g'(x)+4g(x)=0$

Alors $g=2f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y''+2y'+4y=0$

La réponse juste est : A

On a : $\forall x\in \mathbb{R}$, $f'(x)=f(-x)$, donc : $\forall x\in \mathbb{R}$, $f''(x)=-f'(-x)$

Et comme $f'(x)=f(-x)$ pour tout $x$, on a aussi $f'(-x)=f(x)$, d’où : $\forall x\in \mathbb{R}$, $f''(x)=-f(x)$

Donc : $\forall x\in \mathbb{R}$, $f''(x)+f(x)=0$

Considérons l’équation différentielle $y''+y=0$

L’équation caractéristique est $r^2+1=0$, donc $r_1=i$ et $r_2=-i$

D’où la solution générale de l’équation différentielle $y''+y=0$ est :

$y:x\mapsto \alpha \cos x+\beta \sin x$ où $(\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2$

$f$ est une solution de l’équation différentielle $y''+y=0$

Donc : $\exists (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2 : f(x)=\alpha \cos x+\beta \sin x$

Et comme $f'(x)=f(-x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

$-\alpha \sin x+\beta \cos x=\alpha \cos x-\beta \sin x$, d’où $\alpha =\beta$

Donc : $\forall x\in \mathbb{R}$, $f(x)=\alpha (\cos x+\sin x)$ où $\alpha \in \mathbb{R}$

$$\begin{aligned} &f(0)=1 \\ &\Rightarrow \alpha (\cos 0+\sin 0)=1 \\ &\Rightarrow \alpha =1 \end{aligned}$$

Donc $f(x)=\cos x+\sin x$

Donc $f(2025\pi)=\cos 2025\pi +\sin 2025\pi =\cos \pi +\sin \pi =-1$

La réponse juste est : A

Méthode 1 :

Les fonctions proposées qui vérifient $f(0)=5$ sont B, D et E

Parmi elles, la seule qui vérifie $f'(0)=9$ est D

Méthode 2 :

L’équation caractéristique associée à $(E)$ est $r^2-2r+5=0$

On a $\Delta =(-2)^2-4\times 1\times 5=-16<0$

Donc l’équation caractéristique $r^2-2r+5=0$ admet deux solutions complexes : $z_1=\dfrac{2+i\sqrt{16}}{2\times 1}=1+2i$ et $z_2=\overline{z_1}$

Donc les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$y(x)=(\alpha \cos (2x)+\beta \sin (2x))e^{x}$ où $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Déterminons $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(0)=5$ et $f'(0)=9$ :

$$f'(x)=(-2\alpha \sin (2x)+2\beta \cos (2x))e^{x}+(\alpha \cos (2x)+\beta \sin (2x))e^{x}$$

$$\begin{cases} f(0)=5 \\ f'(0)=9 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =5 \\ 2\beta +\alpha =9 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =5 \\ 2\beta +5=9 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =5 \\ \beta =2 \end{cases}$$

D’où $f(x)=(5 \cos (2x)+2\sin (2x))e^{x}$

La réponse juste est : D

$g$ est une solution de $(E)$, donc $g''(x)-4g'(x)+13g(x)=0$

Donc $g(x)=\dfrac{1}{13}\left(4g'(x)-g''(x)\right)$

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi} g(x)\,dx &= \int_0^{\pi} \dfrac{1}{13}\left(4g'(x)-g''(x)\right)dx \\ &= \dfrac{4}{13}\int_0^{\pi} g'(x)\,dx-\dfrac{1}{13}\int_0^{\pi} g''(x)\,dx \\ &= \dfrac{4}{13}[g(x)]_0^{\pi}-\dfrac{1}{13}[g'(x)]_0^{\pi} \\ &= \dfrac{4}{13}(g(\pi)-g(0))-\dfrac{1}{13}(g'(\pi)-g'(0)) \\ &= \dfrac{4}{13}(0-0)-\dfrac{1}{13}(-3e^{2\pi}-3) \\ &= \dfrac{3}{13}(1+e^{2\pi}) \end{aligned}$$

La réponse juste est : E