Fonctions primitives — exercices corrigés 2 bac PC et SVT

Exercice qcm-med-integrales-b1-13

Concours blanc de médecine

Une primitive de la fonction $x\mapsto \cos^3(x)$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

A. $\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3(x)$

B. $\dfrac{1}{3}\sin^2(x)$

C. $\cos x-\dfrac{1}{3}\sin^3(x)$

D. $-\dfrac{1}{3}\sin^2(x)$

E. $\dfrac{2}{3}\cos^2(x)-\dfrac{1}{3}\sin^2(x)$

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$$\begin{aligned} f(x) &= \cos^3(x) \\ &= \cos (x)\cos^2(x) \\ &= \cos (x)(1-\sin^2x) \\ &= \cos x-\cos x \sin^2x \end{aligned}$$

Une primitive de $u'u^2$ est $\dfrac{1}{3}u^3$.

D’où $F(x)=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3(x)+C$, avec $C\in \mathbb{R}$

La réponse juste est : A

Exercice qcm-med-integrales-b2-01

Concours blanc de médecine

Une primitive de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{x}{(x+2)^4}$ sur $]-2;+\infty [$ est la fonction $F$ définie par :

A. $\dfrac{1}{{(x+2)}^3}+\dfrac{1}{{2(x+2)}^2}$

B. ${\dfrac{1}{3}(x+2)}^2$

C. $\dfrac{2}{{3(x+2)}^3}-\dfrac{1}{{2(x+2)}^2}$

D. $4 \ln (x+2)$

E. $5\ln (x+2)$

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Une primitive de $u'u^n$ est de la forme $\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$

$$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x}{{(x+2)}^4} \\ &= \dfrac{x+2}{{(x+2)}^4}-\dfrac{2}{{(x+2)}^4} \\ &= \dfrac{1}{{(x+2)}^3}-\dfrac{2}{{(x+2)}^4} \\ &= {(x+2)}^{-3}-2{(x+2)}^{-4} \end{aligned}$$

$F(x)=\dfrac{1}{-2}{(x+2)}^{-2}-2\times \dfrac{1}{-3}{(x+2)}^{-3}+C$, avec $C\in \mathbb{R}$

$F(x)=-\dfrac{1}{{2(x+2)}^2}+\dfrac{2}{3{(x+2)}^3}+C$, avec $C\in \mathbb{R}$

La réponse juste est : C

Exercices corrigés : Fonctions primitives 2 bac PC et SVT

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