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**Étape 1 : Identifier les éléments de la droite $(D)$**
La droite $(D)$ passe par le point $A(1, -1, 0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} = (2, -1, 2)$.
**Étape 2 : Trouver le point $H$ (projeté orthogonal)**
Le point $H$ est sur $(D)$, donc $H = (1 + 2t, -1 - t, 2t)$ pour une valeur $t$ à déterminer.
Le vecteur $\vec{CH}$ doit être orthogonal à $\vec{u}$ :
$$\vec{CH} = H - C = (1 + 2t - (-1), -1 - t - 2, 2t - 1) = (2 + 2t, -3 - t, 2t - 1)$$
**Étape 3 : Appliquer la condition d'orthogonalité**
$$\vec{CH} \cdot \vec{u} = 0$$
$$(2 + 2t, -3 - t, 2t - 1) \cdot (2, -1, 2) = 0$$
$$2(2 + 2t) - 1(-3 - t) + 2(2t - 1) = 0$$
$$4 + 4t + 3 + t + 4t - 2 = 0$$
$$9t + 5 = 0$$
$$t = -\frac{5}{9}$$
**Étape 4 : Calculer $\vec{CH}$**
$$\vec{CH} = \left(2 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{9}\right), -3 - \left(-\frac{5}{9}\right), 2 \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) - 1\right)$$
$$= \left(2 - \frac{10}{9}, -3 + \frac{5}{9}, -\frac{10}{9} - 1\right)$$
$$= \left(\frac{8}{9}, -\frac{22}{9}, -\frac{19}{9}\right)$$
**Étape 5 : Calculer la distance $CH$**
$$CH = \sqrt{\left(\frac{8}{9}\right)^2 + \left(-\frac{22}{9}\right)^2 + \left(-\frac{19}{9}\right)^2}$$
$$= \sqrt{\frac{64 + 484 + 361}{81}} = \sqrt{\frac{909}{81}} = \frac{\sqrt{909}}{9}$$
Or $909 = 9 \times 101$, donc :
$$CH = \frac{\sqrt{9 \times 101}}{9} = \frac{3\sqrt{101}}{9} = \frac{\sqrt{101}}{3}$$
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