QCM sur calcul d'intégrale

On calcule $\int_0^1 \frac{x}{1 + e^{-x^2}} dx$ par substitution.

**Étape 1 : Substitution**
Soit $u = x^2$, alors $du = 2x\,dx$, soit $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

Quand $x = 0$ : $u = 0$
Quand $x = 1$ : $u = 1$

**Étape 2 : Transformation de l'intégrale**
$$\int_0^1 \frac{x}{1 + e^{-x^2}} dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + e^{-u}} \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{1 + e^{-u}} du$$

**Étape 3 : Simplification du dénominateur**
$$\frac{1}{1 + e^{-u}} = \frac{e^u}{e^u + 1}$$

Donc :
$$\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{e^u}{1 + e^u} du$$

**Étape 4 : Nouvelle substitution**
Soit $v = 1 + e^u$, alors $dv = e^u\,du$.

Quand $u = 0$ : $v = 1 + e^0 = 2$
Quand $u = 1$ : $v = 1 + e^1 = 1 + e$

**Étape 5 : Calcul final**
$$\frac{1}{2}\int_2^{1+e} \frac{1}{v} dv = \frac{1}{2}[\ln v]_2^{1+e} = \frac{1}{2}\left(\ln(1+e) - \ln 2\right)$$

$$= \frac{1}{2}\ln\frac{1+e}{2} = \ln\sqrt{\frac{1+e}{2}}$$