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Pour que $f(x) = \sqrt{x^3+2x^2+3} - ax\sqrt{x+b}$ admette une limite finie en $+\infty$, les deux termes doivent avoir le même comportement asymptotique.
**Étape 1 : Développement du premier terme**
$$\sqrt{x^3+2x^2+3} = \sqrt{x^3\left(1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^3}\right)} = x^{3/2}\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^3}}$$
En utilisant $(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + ...$
$$\sqrt{1 + \frac{2}{x} + ...} = 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x} + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{x^3} - \frac{1}{8}\left(\frac{2}{x}\right)^2 + ... = 1 + \frac{1}{x} + O(x^{-2})$$
Donc :
$$\sqrt{x^3+2x^2+3} = x^{3/2}\left(1 + \frac{1}{x} + O(x^{-2})\right) = x^{3/2} + x^{1/2} + O(x^{-1/2})$$
**Étape 2 : Développement du second terme**
$$ax\sqrt{x+b} = ax\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{b}{x}} = ax^{3/2}\left(1 + \frac{b}{2x} + O(x^{-2})\right)$$
$$= ax^{3/2} + \frac{ab}{2}x^{1/2} + O(x^{-1/2})$$
**Étape 3 : Annulation des termes de plus haut degré**
Pour que la limite soit finie :
- Coefficient de $x^{3/2}$ : $1 - a = 0 \Rightarrow \boxed{a = 1}$
Avec $a=1$ :
$$f(x) = x^{1/2} - \frac{b}{2}x^{1/2} + O(x^{-1/2}) = x^{1/2}\left(1 - \frac{b}{2}\right) + O(x^{-1/2})$$
Pour que la limite soit finie (pas $\pm\infty$) :
$$1 - \frac{b}{2} = 0 \Rightarrow \boxed{b = 2}$$
**Vérification** : Avec $a=1$ et $b=2$, les termes en $x^{1/2}$ s'annulent, et la limite finie est déterminée par les termes d'ordre inférieur.
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