Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Convertir en forme trigonométrique**
Soit $w = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i\sqrt{3})$
Calculons le module :
$$|w| = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$
Calculons l'argument :
$$w = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
On a $\cos\theta = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Donc $\theta = -\frac{\pi}{3}$ (ou $\frac{5\pi}{3}$)
Ainsi : $w = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}e^{-i\pi/3}$
**Étape 2 : Appliquer la formule de Moivre**
$$z = w^{18} = \left(\sqrt{2}\right)^{18} \cdot e^{-i18\pi/3}$$
$$z = 2^{9} \cdot e^{-i6\pi} = 512 \cdot e^{0} = 512$$
(Car $e^{-i6\pi} = \cos(-6\pi) + i\sin(-6\pi) = 1$)
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