Le chapitre Arithmétique dans ℕ en tronc commun scientifique : nombres pairs et impairs, multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM, avec applications corrigées.
Exercices corrigés de ce chapitreLes nombres entiers naturels forment un ensemble qu'on note $\mathbb{N}$, tel que $\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \dots\}$.
Les nombres entiers naturels non nuls forment un ensemble qu'on note $\mathbb{N}^*$, tel que $\mathbb{N}^* = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \dots\}$.
3 est un entier naturel : on dit que 3 appartient à l'ensemble $\mathbb{N}$ et on écrit $3 \in \mathbb{N}$.
$-5$ n'est pas un entier naturel : on dit que $-5$ n'appartient pas à $\mathbb{N}$ et on écrit $-5 \notin \mathbb{N}$.
4 est un entier naturel non nul : on dit que 4 appartient à $\mathbb{N}^*$ et on écrit $4 \in \mathbb{N}^*$.
L'ensemble des nombres entiers naturels est infini : si $n$ est un entier naturel, alors son successeur $n+1$ est aussi un nombre entier naturel.
Le symbole $\in$ se lit « appartient à » et le symbole $\notin$ se lit « n'appartient pas à ».
Compléter par $\in$ ou $\notin$ :
$15 \ \dots \ \mathbb{N}$
$\dfrac{2\pi}{3} \ \dots \ \mathbb{N}^*$
$\sqrt{12} \ \dots \ \mathbb{N}$
$\dfrac{15}{3} \ \dots \ \mathbb{N}^*$
$0 \ \dots \ \mathbb{N}^*$
$15 \in \mathbb{N}$, car 15 est un entier naturel.
$\dfrac{2\pi}{3} \notin \mathbb{N}^*$, car $\pi$ n'est pas un nombre entier.
$\sqrt{12} \notin \mathbb{N}$, car $3 < \sqrt{12} < 4$ : ce n'est pas un entier.
$\dfrac{15}{3} \in \mathbb{N}^*$, car $\dfrac{15}{3} = 5$ et 5 est un entier naturel non nul.
$0 \notin \mathbb{N}^*$, car $\mathbb{N}^*$ ne contient pas 0.
Soit $a$ un nombre entier naturel.
On dit que $a$ est un nombre pair s'il existe un nombre entier naturel $k$ tel que $a = 2k$.
On dit que $a$ est un nombre impair s'il existe un nombre entier naturel $k$ tel que $a = 2k+1$.
On a $144 = 2 \times 72$, donc 144 est un nombre pair.
On a $161 = 2 \times 80 + 1$, donc 161 est un nombre impair.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels. La parité de leur somme, de leur différence et de leur produit est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a & b & a+b & a-b \ (a>b) & a \times b \\ \hline \text{Pair} & \text{Pair} & \text{Pair} & \text{Pair} & \text{Pair} \\ \hline \text{Pair} & \text{Impair} & \text{Impair} & \text{Impair} & \text{Pair} \\ \hline \text{Impair} & \text{Pair} & \text{Impair} & \text{Impair} & \text{Pair} \\ \hline \text{Impair} & \text{Impair} & \text{Pair} & \text{Pair} & \text{Impair} \\ \hline \end{array}$$Montrons que si $a$ est pair et $b$ est pair, alors $a+b$ est pair.
Si $a$ est pair, alors il existe un entier naturel $k$ tel que $a = 2k$. Si $b$ est pair, alors il existe un entier naturel $k'$ tel que $b = 2k'$.
Par suite $a + b = 2k + 2k' = 2(k+k') = 2k''$ avec $k'' \in \mathbb{N}$, d'où $a+b$ est un nombre pair.
On suit la même démarche pour les autres cas.
1) Étudier la parité des nombres suivants.
$1359 + 59321$
$978^2 - 65^2$
$732 \times 753$
2) Soit $n$ un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants.
$2n+3$
$4n^2 + 2n + 5$
$1 + (n+1)^2 + (n+2)^2$
1) $1359$ et $59321$ sont impairs, et la somme de deux nombres impairs est paire : $1359 + 59321$ est un nombre pair.
$978^2$ est pair car 978 est pair, et $65^2$ est impair car 65 est impair. La différence d'un nombre pair et d'un nombre impair est impaire : $978^2 - 65^2$ est un nombre impair.
732 est pair et 753 est impair, et le produit d'un nombre pair par un nombre impair est pair : $732 \times 753$ est un nombre pair.
2) $2n$ est pair et 3 est impair, donc $2n+3$ est un nombre impair.
$4n^2 = 2 \times 2n^2$ est pair et $2n$ est pair, donc $4n^2 + 2n$ est pair ; en ajoutant 5 qui est impair, $4n^2 + 2n + 5$ est un nombre impair.
$n+1$ et $n+2$ sont deux entiers consécutifs : l'un est pair et l'autre impair, donc l'un des carrés $(n+1)^2$ et $(n+2)^2$ est pair et l'autre impair. Leur somme est donc impaire, et en ajoutant 1 on obtient que $1 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ est un nombre pair.
Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre pair.
Soit $n$ un entier naturel ; montrons que $n(n+1)$ est un nombre pair.
1er cas : si $n$ est pair, alors $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$, donc :
$$n(n+1) = 2k(2k+1) = 2\big[k(2k+1)\big] = 2k' \quad \text{avec} \quad k' \in \mathbb{N}$$D'où $n(n+1)$ est pair.
2e cas : si $n$ est impair, alors $n = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$, donc :
$$n(n+1) = (2k+1)(2k+2) = 2\big[(2k+1)(k+1)\big] = 2k'' \quad \text{avec} \quad k'' \in \mathbb{N}$$D'où $n(n+1)$ est pair.
D'après les deux cas, $n(n+1)$ est un nombre pair pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Soit $n$ un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants.
$n^2 + 3n + 2$
$n^2 + 7n + 13$
On a $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$, produit de deux entiers naturels consécutifs : $n^2 + 3n + 2$ est donc un nombre pair, quel que soit $n$.
On a $n^2 + 7n + 13 = n(n+1) + 6n + 13$. Or $n(n+1)$ est pair et $6n$ est pair, donc $n(n+1) + 6n$ est pair ; en ajoutant 13 qui est impair, $n^2 + 7n + 13$ est un nombre impair, quel que soit $n$.
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. S'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = k \times b$, alors :
On a $30 = 2 \times 15$ : donc 30 est un multiple de 15, 15 est un diviseur de 30, et 2 est le rapport de 30 par 15.
0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.
1) Déterminer les diviseurs de 36 et de 82.
2) Déterminer les multiples de 3 inférieurs ou égaux à 50.
1) On cherche les entiers naturels qui divisent 36 en les groupant par couples : $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$.
Les diviseurs de 36 sont donc $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$.
De même, $82 = 1 \times 82 = 2 \times 41$, et les diviseurs de 82 sont $1 ; 2 ; 41 ; 82$.
2) Les multiples de 3 sont les nombres de la forme $3k$ avec $k \in \mathbb{N}$, et $3k \leq 50$ donne $k \leq 16$.
Les multiples de 3 inférieurs ou égaux à 50 sont donc :
$$0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; 30 ; 33 ; 36 ; 39 ; 42 ; 45 ; 48$$Soit $n$ un entier naturel. On dit que $n$ est divisible par :
4725 est divisible par 5, car son chiffre des unités est 5.
4725 est divisible par 3 et par 9, car la somme de ses chiffres $4+7+2+5 = 18$ est un multiple de 3 et de 9.
1628 est divisible par 4, car 28 est un multiple de 4.
1628 est divisible par 2, car son chiffre des unités est 8.
Étudier la divisibilité de 3611790 par 2, 3, 4, 5 et 9.
Le chiffre des unités de 3611790 est 0 : le nombre est donc divisible par 2 et par 5.
La somme de ses chiffres est $3+6+1+1+7+9+0 = 27$. Or $27 = 3 \times 9 = 9 \times 3$ est un multiple de 3 et de 9 : le nombre est donc divisible par 3 et par 9.
Le chiffre des dizaines et celui des unités forment le nombre 90, qui n'est pas un multiple de 4 : le nombre 3611790 n'est donc pas divisible par 4.
Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
1 n'est pas un nombre premier, car il ne possède qu'un seul diviseur.
2 est le seul nombre pair qui soit premier.
Pour étudier la primalité d'un entier naturel $n$, on cherche tous les nombres premiers $p$ qui vérifient $p \leq \sqrt{n}$. Si $n$ est divisible par l'un de ces nombres, alors $n$ n'est pas premier ; sinon $n$ est premier.
Le nombre 37 est-il premier ?
On a $\sqrt{37} \simeq 6{,}08$, et les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{37}$ sont 2, 3 et 5.
Or 37 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 : 37 est donc un nombre premier.
Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont des nombres premiers : $37 ; 45 ; 67 ; 73 ; 87$.
37 est premier, comme on l'a vu plus haut.
45 n'est pas premier : la somme de ses chiffres est $4+5 = 9$, donc 45 est divisible par 3, et $45 = 3 \times 15$.
67 est premier : $\sqrt{67} \simeq 8{,}18$, et les premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{67}$ sont 2, 3, 5 et 7 ; or 67 est impair, $6+7 = 13$ n'est pas un multiple de 3, 67 ne se termine ni par 0 ni par 5, et $67 = 7 \times 9 + 4$.
73 est premier : $\sqrt{73} \simeq 8{,}54$, et les premiers à tester sont 2, 3, 5 et 7 ; or 73 est impair, $7+3 = 10$ n'est pas un multiple de 3, 73 ne se termine ni par 0 ni par 5, et $73 = 7 \times 10 + 3$.
87 n'est pas premier : la somme de ses chiffres est $8+7 = 15$, donc 87 est divisible par 3, et $87 = 3 \times 29$.
Les nombres premiers de la liste sont donc 37, 67 et 73.
Étudier la primalité des nombres suivants : $101 ; 137 ; 1563$.
On a $\sqrt{101} \simeq 10{,}05$, et les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{101}$ sont 2, 3, 5 et 7.
Or 101 est impair, $1+0+1 = 2$ n'est pas un multiple de 3, 101 ne se termine ni par 0 ni par 5, et $101 = 7 \times 14 + 3$. Donc 101 est un nombre premier.
On a $\sqrt{137} \simeq 11{,}70$, et les premiers à tester sont 2, 3, 5, 7 et 11.
Or 137 est impair, $1+3+7 = 11$ n'est pas un multiple de 3, 137 ne se termine ni par 0 ni par 5, $137 = 7 \times 19 + 4$ et $137 = 11 \times 12 + 5$. Donc 137 est un nombre premier.
Pour 1563, la somme des chiffres est $1+5+6+3 = 15$, un multiple de 3 : donc 1563 est divisible par 3, et $1563 = 3 \times 521$. Le nombre 1563 n'est donc pas premier.
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers.
$30 = 2 \times 3 \times 5$ est une décomposition de 30 en produit de facteurs premiers.
Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : $48 ; 612 ; 1530 ; 3240$.
On divise chaque nombre successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, … jusqu'à obtenir 1.
$48 = 2 \times 24 = 2^2 \times 12 = 2^3 \times 6 = 2^4 \times 3$, donc $48 = 2^4 \times 3$.
$612 = 2 \times 306 = 2^2 \times 153$ et $153 = 3 \times 51 = 3^2 \times 17$, donc $612 = 2^2 \times 3^2 \times 17$.
$1530 = 2 \times 765 = 2 \times 5 \times 153$, donc $1530 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 17$.
$3240 = 2^3 \times 405$ et $405 = 3^4 \times 5$, donc $3240 = 2^3 \times 3^4 \times 5$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ s'appelle le PGCD de $a$ et $b$, et se note $PGCD(a ; b)$ ou $a \wedge b$.
Comme 1 est un diviseur de tout nombre $a$ et de tout nombre $b$ de $\mathbb{N}$, on a toujours $PGCD(a ; b) \geq 1$.
Déterminer les diviseurs de 36 et de 84, puis en déduire $PGCD(36 ; 84)$.
Les diviseurs de 36 sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36$.
Les diviseurs de 84 sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84$.
Les diviseurs communs à 36 et 84 sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$, et le plus grand d'entre eux est 12.
Donc $PGCD(36 ; 84) = 12$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels. Le $PGCD(a ; b)$ est le produit des facteurs premiers communs apparaissant à la fois dans la décomposition de $a$ et dans celle de $b$, affectés de la plus petite puissance.
Soient $a = 132$ et $b = 120$. On a $132 = 2^2 \times 3 \times 11$ et $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
Les facteurs premiers communs sont 2 et 3, affectés des plus petites puissances $2^2$ et $3$ :
$$PGCD(132 ; 120) = 2^2 \times 3 = 12$$Déterminer $PGCD(180 ; 174)$ et $PGCD(156 ; 495)$.
On a $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $174 = 2 \times 3 \times 29$. Les facteurs premiers communs sont 2 et 3, affectés des plus petites puissances :
$$PGCD(180 ; 174) = 2 \times 3 = 6$$On a $156 = 2^2 \times 3 \times 13$ et $495 = 3^2 \times 5 \times 11$. Le seul facteur premier commun est 3, affecté de la plus petite puissance :
$$PGCD(156 ; 495) = 3$$Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels. On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si $PGCD(a ; b) = 1$.
Montrer que 37 et 8 sont premiers entre eux.
37 est un nombre premier, donc ses seuls diviseurs sont 1 et 37. Et $8 = 2^3$, donc ses diviseurs sont $1 ; 2 ; 4 ; 8$.
Le seul diviseur commun à 37 et 8 est 1, donc $PGCD(37 ; 8) = 1$ : les nombres 37 et 8 sont premiers entre eux.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple non nul de $a$ et $b$ s'appelle le PPCM de $a$ et $b$, et se note $PPCM(a ; b)$ ou $a \vee b$.
Déterminer $PPCM(12 ; 15)$.
Les multiples non nuls de 12 sont $12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; \dots$
Les multiples non nuls de 15 sont $15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; \dots$
Le plus petit multiple commun non nul est 60, donc $PPCM(12 ; 15) = 60$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels. Le $PPCM(a ; b)$ est le produit des facteurs premiers communs et non communs apparaissant dans la décomposition de $a$ et de $b$, affectés de la plus grande puissance.
Décomposer 45 et 120 en produit de facteurs premiers, puis en déduire $PPCM(45 ; 120)$.
On a $45 = 3^2 \times 5$ et $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
Les facteurs premiers qui apparaissent sont 2, 3 et 5 ; on retient chacun avec sa plus grande puissance, soit $2^3$, $3^2$ et $5$ :
$$PPCM(45 ; 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$$Un exercice de ce chapitre vous bloque ? Solutions pas à pas.