Exercices corrigés : Arithmétique dans ℕ Tronc commun scientifique

$4n+300$

$$4n+300 = 2\times 2n+2\times 150 = 2(2n+150)$$

Donc le nombre $4n+300$ est un nombre pair.

$14n+111$

$$14n+111 = 2\times 7n+2\times 55+1 = 2(7n+55)+1$$

Donc le nombre $14n+111$ est un nombre impair.

$2^{n+1}+15$

$$2^{n+1}+15 = 2\times 2^n+2\times 7+1 = 2(2^n+7)+1$$

Donc le nombre $2^{n+1}+15$ est un nombre impair.

$n^2+5n+3$

Première méthode

1er cas : si $n$ est impair alors $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{N}$).

Donc :

$$\begin{aligned} A &= n^2+5n+3 \\ &= (2k+1)^2+5(2k+1)+3 \\ &= 4k^2+4k+1+10k+5+3 \\ &= 4k^2+14k+8+1 \\ &= 2\times(2k^2+7k+4)+1 \end{aligned}$$

Alors le nombre $n^2+5n+3$ est un nombre impair.

2e cas : si $n$ est pair alors $n = 2k$ ($k \in \mathbb{N}$).

Donc :

$$\begin{aligned} A &= n^2+5n+3 \\ &= (2k)^2+5\times 2k+3 \\ &= 4k^2+10k+3 \\ &= 4k^2+10k+2+1 \\ &= 2\times(2k^2+5k+1)+1 \end{aligned}$$

Alors le nombre $n^2+5n+3$ est un nombre impair.

Par conséquent $n^2+5n+3$ est toujours impair.

Deuxième méthode

$$n^2+5n+3 = n^2+n+4n+3 = n(n+1)+4n+3$$

Or $n(n+1)$ est pair et $4n+3$ impair donc $n^2+5n+3$ est impair.

$n(n+1)(n^2+5n+3)$

On a $n(n+1)$ est toujours un nombre pair (produit de deux nombres entiers naturels consécutifs) et $n^2+5n+3$ est un nombre impair.

Alors $n(n+1)(n^2+5n+3)$ est un nombre pair.

1) La parité de $a$ et $b$

On a $a = 2n+4 = 2(n+2)$.

Donc $a$ est un nombre pair.

Et on a :

$$\begin{aligned} b &= 6n+11 \\ &= 6n+10+1 \\ &= 2(3n+5)+1 \end{aligned}$$

Donc $b$ est un nombre impair.

2) Simplifier le nombre $(6n+11)(-1)^{2n+4}-(2n+4)(-1)^{6n+11}$

On a $(-1)^{2n+4} = 1$ car $2n+4$ est un nombre pair et $(-1)^{6n+11} = -1$ car $6n+11$ est un nombre impair.

Donc $A = 6n+11-(2n+4)(-1) = 8n+15$.

3) Montrer que $a^2+(b+1)^2$ est un multiple de 20

On a :

$$\begin{aligned} A &= a^2+(b+1)^2 \\ &= (2n+4)^2+(6n+11+1)^2 \\ &= 4n^2+16n+16+36n^2+144n+144 \\ &= 40n^2+160n+160 \\ &= 20\times(2n^2+8n+8) \end{aligned}$$

Donc $a^2+(b+1)^2$ est un multiple de 20.

Montrer que $a$ est multiple de 3

On a :

$$\begin{aligned} a &= 2^{n+3}-5\times 2^n \\ &= 2^n\times 2^3-5\times 2^n \\ &= (2^3-5)\times 2^n \\ &= 3\times 2^n \end{aligned}$$

Donc $a$ est multiple de 3.

Montrer que 56 divise $b$

C'est-à-dire montrer que $b$ est un multiple de 56.

On a :

$$\begin{aligned} b &= 7^{n+1}\times 2^{n+3} \\ &= 7^n\times 7\times 2^n\times 2^3 \\ &= 56\times 14^n \end{aligned}$$

Donc 56 divise $b$.

1) Déterminer $a$ pour que le nombre $5a74$ soit divisible par 3

On a $5+a+7+4 = 16+a$.

Donc $a \in \{2\,;\,5\,;\,8\}$.

2) Déterminer $b$ pour que le nombre $815b$ soit divisible à la fois par 2 et 9

On a $8+1+5+b = 14+b$.

Donc $b = 4$.

3) Déterminer $c$ pour que $921c$ soit divisible par 3 et non pas par 9

On a $9+2+1+c = 12+c$.

Donc $c \in \{0\,;\,3\,;\,9\}$.

Les nombres premiers dans la liste sont 101 et 137.

Car ils possèdent deux diviseurs.

1) La parité de $n^2-1$ et $n^2+1$

$n$ est un nombre impair alors $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{N}$).

On a :

$$\begin{aligned} n^2-1 &= (2k+1)^2-1 \\ &= 4k^2+4k+1-1 \\ &= 2(2k^2+2k) \end{aligned}$$

Donc le nombre $n^2-1$ est un nombre pair.

Et on a :

$$\begin{aligned} n^2+1 &= (2k+1)^2+1 \\ &= 4k^2+4k+1+1 \\ &= 2(2k^2+2k+1) \end{aligned}$$

Donc $n^2+1$ est un nombre pair.

2) Montrer que 8 divise $n^2-1$

On a :

$$\begin{aligned} n^2-1 &= (2k+1)^2-1 \\ &= 4k^2+4k+1-1 \\ &= 4k(k+1) \end{aligned}$$

Or $k(k+1)$ est un produit de deux nombres entiers naturels consécutifs alors $k(k+1)$ est un nombre pair.

Donc $k(k+1) = 2K'$ ($K' \in \mathbb{N}$).

D'où :

$$\begin{aligned} n^2-1 &= 4k(k+1) \\ &= 4\times 2K' \\ &= 8K' \end{aligned}$$

Par conséquent 8 divise $n^2-1$.

3) Déduire que 16 divise $n^4-1$

On a $n^4-1 = (n^2)^2-1^2 = (n^2-1)(n^2+1)$.

D'après les questions 1) et 2) on a $n^2+1$ est un nombre pair ; c'est-à-dire $n^2+1 = 2K''$ ($K'' \in \mathbb{N}$).

Et d'après la question 2) on a :

$$\begin{aligned} n^2-1 &= 4k(k+1) \\ &= 4\times 2K' \\ &= 8K' \end{aligned}$$

Alors $n^4-1 = 8K'\times 2K'' = 16K'\times K''$.

Par conséquent 16 divise $n^4-1$.

1) Vérifier que $n^2+4n+9 = (n+3)(n+1)+6$

On a $(n+3)(n+1)+6 = n^2+n+3n+3+6 = n^2+4n+9$.

2) Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel $n$ pour que le nombre $n+3$ divise $n^2+4n+9$

On a $n^2+4n+9 = (n+3)(n+1)+6$.

Alors :

$$\frac{n^2+4n+9}{n+3} = \frac{(n+3)(n+1)}{n+3}+\frac{6}{n+3} = n+1+\frac{6}{n+3}$$

Donc pour que le nombre $n+3$ divise $n^2+4n+9$ il faut que $n+3$ divise 6.

On a $D_6 = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,6\}$.

Donc $n+3 = 1$ ou $n+3 = 2$ ou $n+3 = 3$ ou $n+3 = 6$.

Par conséquent $n = 0$ ou $n = 3$.

1) Montrer que $m+n$ et $m-n$ ont même parité

On a $m+n+m-n = 2m$.

Donc $m+n+m-n$ est un nombre pair.

Et on a $m+n-(m-n) = 2n$.

Donc $m+n-(m-n)$ est un nombre pair.

Donc $m+n$ et $m-n$ ont même parité.

2) Déterminer toutes les valeurs de $n$ et $m$ tels que $m^2-n^2 = 12$

On a $m^2-n^2 = 12$ alors $(m-n)(m+n) = 12$.

Donc $m+n$ et $m-n$ sont des diviseurs de 12.

Par conséquent (même parité) :

$$\begin{cases} m+n = 6 \\ m-n = 2 \end{cases}$$

D'où $m = 4$ et $n = 2$.

1)

Les diviseurs de 22 sont $D_{22} = \{1\,;\,2\,;\,11\,;\,22\}$.

2) Déduire les entiers naturels tels que $(x+2)(y+1) = 22$

On a $(x+2)(y+1) = 22$ donc $x+2$ et $y+1$ sont des diviseurs de 22.

Alors :

$$\begin{cases} x+2 = 2 \\ y+1 = 11 \end{cases}$$

ou

$$\begin{cases} x+2 = 11 \\ y+1 = 2 \end{cases}$$

ou

$$\begin{cases} x+2 = 22 \\ y+1 = 1 \end{cases}$$

D'où $(x\,;\,y) \in \{(0\,;\,10)\,;\,(9\,;\,1)\,;\,(20\,;\,0)\}$.

1) La décomposition en produit de facteurs premiers

$$495 = 3^2\times 5\times 11$$

$$156 = 2^2\times 3\times 13$$

$$1404 = 2^2\times 3^3\times 13$$

$$4056 = 2^3\times 3\times 13^2$$

2) Simplification

$$\begin{aligned} \frac{1404}{4056} &= \frac{2^2\times 3^3\times 13}{2^3\times 3\times 13^2} \\ &= \frac{3^2}{2\times 13} \\ &= \frac{9}{26} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \sqrt{1404\times 4056} &= \sqrt{2^2\times 3^3\times 13\times 2^3\times 3\times 13^2} \\ &= 468\sqrt{26} \end{aligned}$$

De même pour $\dfrac{495}{1404}+\dfrac{156}{4056}$.

3)

$$\mathrm{pgcd}(495\,;\,156) = 3$$

$$\mathrm{pgcd}(495\,;\,1404) = 3^2 = 9$$

$$\mathrm{pgcd}(1404\,;\,4056) = 2^2\times 3\times 13 = 156$$

$$\mathrm{ppcm}(495\,;\,156) = 2^2\times 3^2\times 5\times 11\times 13$$

$$\mathrm{ppcm}(495\,;\,1404) = 2^2\times 3^3\times 5\times 11\times 13$$

$$\mathrm{ppcm}(1404\,;\,4056) = 2^3\times 3^3\times 13^2$$

1) La décomposition en produit de facteurs premiers

$$a = 4680 = 2^3\times 3^2\times 5\times 13$$

$$b = 5940 = 2^2\times 3^3\times 5\times 11$$

2) La décomposition de $a^2\times b^3$

$$\begin{aligned} a^2\times b^3 &= \left(2^3\times 3^2\times 5\times 13\right)^2\times\left(2^2\times 3^3\times 5\times 11\right)^3 \\ &= 2^{12}\times 3^{13}\times 5^5\times 11^3\times 13^2 \end{aligned}$$

3)

$$\mathrm{ppcm}(a,b) = 2^3\times 3^3\times 5\times 11\times 13$$

$$\mathrm{pgcd}(a,b) = 2^2\times 3^2\times 5$$

Et on a :

$$\begin{aligned} \mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b) &= 2^2\times 3^2\times 5\times 2^3\times 3^3\times 5\times 11\times 13 \\ &= 2^5\times 3^5\times 5^2\times 11\times 13 \end{aligned}$$

Et :

$$\begin{aligned} a\times b &= 2^3\times 3^2\times 5\times 13\times 2^2\times 3^3\times 5\times 11 \\ &= 2^5\times 3^5\times 5^2\times 11\times 13 \end{aligned}$$

Donc $\mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b) = a\times b$.

4) Déterminer le plus petit naturel $m$ pour que $ma$ soit un carré parfait

$ma = m\times 2^3\times 3^2\times 5\times 13$.

Donc $m = 2\times 5\times 13 = 130$.

5) Déterminer le plus petit naturel $n$ pour que $nb$ soit un cube d'un entier naturel

$nb = n\times 2^2\times 3^3\times 5\times 11$.

Donc :

$$\begin{aligned} n &= 2\times 5^2\times 11^2 \\ &= 50\times 121 \\ &= 6050 \end{aligned}$$

6)

Évident.

1) Montrer que $x$ est divisible par 3 et $y$ est un multiple de 13

On a :

$$\begin{aligned} x &= 7^{n+2}-7^n \\ &= 7^n(7^2-1) \\ &= 48\times 7^n \\ &= 3\times(16\times 7^n) \end{aligned}$$

Donc $x$ est divisible par 3.

$$\begin{aligned} y &= 3\times 7^{n+1}+5\times 7^n \\ &= 7^n(3\times 7+5) \\ &= 26\times 7^n \\ &= 13\times(2\times 7^n) \end{aligned}$$

donc $y$ est un multiple de 13.

2) Décomposition en produit de facteurs premiers

$$\begin{aligned} x &= 7^{n+2}-7^n \\ &= 7^n(7^2-1) \\ &= 48\times 7^n \\ &= 2^4\times 3\times 7^n \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} y &= 3\times 7^{n+1}+5\times 7^n \\ &= 7^n(3\times 7+5) \\ &= 26\times 7^n \\ &= 2\times 13\times 7^n \end{aligned}$$

3)

$$\mathrm{pgcd}(x\,;\,y) = 2\times 7^n$$

$$\mathrm{ppcm}(x\,;\,y) = 2^4\times 3\times 13\times 7^n$$

1) Développement

$$(n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1-n^2 = 2n+1$$

2)

On a $2n+1$ est un nombre impair et $(n+1)^2-n^2$ est une différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs.

Alors tout entier naturel impair peut s'écrire comme une différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs.

3) Application

On a $2017 = 2\times 1008+1$ donc $n = 1008$.

D'où $2017 = (1008+1)^2-1008^2 = 1009^2-1008^2$.

4)

Évident.