Exercices corrigés : Limites et continuité, série 2 2 bac PC et SVT

Si $a\leq 0$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$

On suppose $a>0$ et on multiplie par l’expression conjuguée, on obtient :

$$\begin{aligned} f(x) &= \sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b} \\ &= \dfrac{(1-a^2)x^3+(2-a^2b)x^2+3}{\sqrt{x^3+2x^2+3}+ax\sqrt{x+b}} \\ &= \dfrac{(1-a^2)x^3+(2-a^2b)x^2+3}{x\sqrt{x}\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^3}}+a\sqrt{1+\dfrac{b}{x}} \right)} \end{aligned}$$

On en déduit que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $a=1$ et $b=2$

La réponse juste est : D

Si $b\neq 1$, alors la limite de $f$ en $2$ à droite est infinie

On suppose $b=1$ et on multiplie par l’expression conjuguée, on obtient :

$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{a}{\sqrt{x-1}+1} & \text{si } x<2 \\ \dfrac{2}{\sqrt{2x-3}+1} & \text{si } x>2 \end{cases}$$

Donc $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=\dfrac{a}{2}$ et $\lim\limits_{x\to 2^+} f(x)=1$

$f$ admet une limite finie en $2$ si et seulement si $\dfrac{a}{2}=1$. D’où $a=2$ et $b=1$

La réponse juste est : E

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos^n(x)}{1-\cos^2(x)} &= \lim_{x\to 0} \dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x+\dots +\cos^{n-1}x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} \\ &= \lim_{x\to 0} \dfrac{1+\cos x+\dots +\cos^{n-1}x}{1+\cos x} \\ &= \dfrac{1+1+\dots +1}{2} \\ &= \dfrac{n}{2} \end{aligned}$$

La réponse juste est : A

Astuce : pour tout entier $n\geq 2$,

$$\lim_{x\to+\infty} \left(\underbrace{\sqrt{x+\dots\sqrt{x+\sqrt{x}}}}_{n+1 \text{ fois}}-\underbrace{\sqrt{x+\dots\sqrt{x+\sqrt{x}}}}_{n \text{ fois}}\right)=0$$

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)=0$

La réponse juste est : B

Considérons la fonction $u:x\mapsto \dfrac{3x^2-4x-4}{x^2-x-2}$ et $v:x\mapsto \dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}$

$x\in D_u\Leftrightarrow x^2-x-2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 2$ et $x\neq -1$

Donc $D_u=]-\infty;-1[\cup ]-1;2[\cup ]2;+\infty [$

Donc la restriction de $f$ à $]2;+\infty [$ est définie sur :

$$D_u\cap ]2;+\infty [=]2;+\infty [$$

$x\in D_v\Leftrightarrow x^2+5\geq 0$ et $x+2 \geq 0$ et $\sqrt{x+2}-2\neq 0$

$\Leftrightarrow x \geq -2$ et $\sqrt{x+2}\neq 2$

$\Leftrightarrow x \geq -2$ et $x+2\neq 4$

$\Leftrightarrow x \geq -2$ et $x\neq 2$

Donc $D_v=[-2;2[\cup ]2;+\infty [$

Donc la restriction de $f$ à $]-\infty;2[$ est définie sur :

$$D_v\cap ]-\infty ;2[=[-2;2[$$

Donc $D_f=[-2;2[\cup ]2;+\infty [\cup \{2\}$, car $f(2)=1$

D’où $D_f=[-2;+\infty [$

La réponse juste est : B

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a^+} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} &= \lim_{x\to a^+} \left(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x^2-a^2}}-\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}\right) \\ &= \lim_{x\to a^+} \left(\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})\sqrt{x^2-a^2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})\left(\sqrt{x^2-a^2}\right)^2}-\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}}\right) \\ &= \lim_{x\to a^+} \left(\dfrac{(x-a)\sqrt{x^2-a^2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(x^2-a^2)}-\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x-a}\sqrt{x+a}}\right) \\ &= \lim_{x\to a^+} \left(\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(x+a)}-\dfrac{1}{\sqrt{x+a}}\right) \\ &= \dfrac{0}{2\sqrt{a}\times 2a}-\dfrac{1}{\sqrt{2a}} \\ &= -\dfrac{1}{\sqrt{2a}} \end{aligned}$$

La réponse juste est : D

Méthode 1 :

$$\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^{2024}+2023}-x^{1012}\right) &= \lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^{2024}+2023-(x^{1012})^2}{\sqrt{x^{2024}+2023}+x^{1012}} \\ &= \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2023}{\sqrt{x^{2024}+2023}+x^{1012}} \\ &= 0 \end{aligned}$$

Méthode 2 :

Astuce : $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^{2\alpha}+\beta}-x^{\alpha}\right)=0$ ; $\alpha >0$

La réponse juste est : B

$$\begin{aligned} a^2 &= {\left(\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}-\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}} \right)}^2 \\ &= \sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}-2\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}-2+\sqrt{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}} \end{aligned}$$

Donc $a^2+2=\sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}}$

Donc $(a^2+2)^2={\left(\sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}} \right)}^2$

Donc $(a^2+2)^2=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}+2\sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}}\sqrt{\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}}+\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}$

Donc $(a^2+2)^2=7+2$ donc $a^4+4a^2-5=0$

Donc $a^2=-5<0$ ou $a^2=1$ car le discriminant est $36$

Donc $a^2=1$, donc $a=1$ ou $a=-1$ ; comme $a>0$, $a=1$

La réponse juste est : A