Limites et continuité

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes, $x_0 \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}^*$ :

Ces propriétés sont vraies si $x$ tend vers $a^+$, $a^-$, $+\infty$ ou $-\infty$ (F.I. = forme indéterminée).

Limite de la somme :

Limite du produit :

Limite de l'inverse :

Limite du quotient :

Déterminer les limites suivantes :

Soit la fonction $f : x \mapsto \dfrac{(x+1)^2}{|x^2 - 1|}$. Étudier la limite de $f$ en $x_0 = -1$.

Soient les fonctions définies par :

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.   2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3} g(x)$.   3) Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x)$.   4) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de $k$.

Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = -4$.

1) Déterminer $D_f$.   2a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$.   2b) Comparer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ et $f(1)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de centre $a$. On dit que la fonction $f$ est continue en $a$ si elle admet une limite finie en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Considérons $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 12}{x - 3}$ si $x \neq 3$ et $f(3) = 7$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 3$.

Considérons $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{\tan x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = \dfrac{1}{2}$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 0$.

Considérons $f(x) = \dfrac{\sin(x - 2)}{x^2 - 2x}$ si $x \neq 0$ et $x \neq 2$, et $f(2) = \dfrac{1}{2}$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$.

Considérons $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = m$ ($m$ paramètre réel). Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f$ est continue en $x_0 = 1$.

Considérons $f(x) = 2 + x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 0$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = 2 + x$ si $x > 0$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)$ : $f$ est continue à gauche de $0$. Mais $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2 + x = 2 \neq f(0)$ : $f$ n'est pas continue à droite de $0$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, la limite en $0$ n'existe pas ; $f$ ne peut donc être continue en $0$. Graphiquement, la courbe ne peut être tracée sur un intervalle comprenant $0$ « sans lever le crayon ».

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a, a + r[$ où $r > 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si elle admet une limite finie à droite en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a - r, a]$ où $r > 0$. On dit que $f$ est continue à gauche de $a$ si elle admet une limite finie à gauche en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Théorème : une fonction est continue en un point $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$. Donc $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Soit $f$ définie par $f(x) = 3 - x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{2x - 1}$ si $x > 0$. Étudier la continuité de $f$ à droite et à gauche de $x_0 = 0$.

Considérons $f(x) = \dfrac{2x + 1}{7 - 3x}$ si $x \leq 2$ et $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ si $x > 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$.

Soit $f : x \mapsto \dfrac{x^2 - 1}{|x - 1|}$ si $x \neq 1$, et $f(1) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.

Soit $f$ de domaine $D_f$ et $]a, b[$ un intervalle inclus dans $D_f$.

• $f$ est continue sur l'ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$.
• $f$ est continue sur $[a, b[$ si elle est continue sur $]a, b[$ et à droite de $a$.
• $f$ est continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, à droite de $a$ et à gauche de $b$.

Remarque : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et sur $[b, c]$, elle est continue sur $[a, c]$. Plus généralement, si $f$ est continue sur $I$ et sur $J$ avec $I \cap J \neq \varnothing$, alors $f$ est continue sur $I \cup J$. En revanche, $f$ peut être continue sur $[a, b[$ et sur $[b, c]$ sans être continue sur $[a, c]$ (exemple : $f(x) = \frac{1}{x}$ si $x < 0$ et $f(x) = x^2$ si $x \geq 0$ est continue sur $[-3, 0[$ et sur $[0, 2]$ mais pas sur $[-3, 0]$, car discontinue en $0$).

• Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f + g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues en $a$.
• Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et $g(a) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $a$.
• Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$.

Remarque : ces propriétés restent vraies à droite de $a$, à gauche de $a$ ou sur un intervalle $I$ (en tenant compte des conditions).

De plus : toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.

• $h(x) = \sqrt{x^2 + x + 3}$ est continue sur $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3$ est un polynôme (continu sur $\mathbb{R}$) et $x^2 + x + 3 \geq 0$ pour tout $x$ (discriminant $\Delta < 0$).
• $g(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 6}{x^2 + 2x - 3}$ est continue sur $]-\infty, -3[$, sur $]-3, 1[$ et sur $]1, +\infty[$.
• La fonction $\tan$ est continue sur tous les intervalles de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ tels que $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$.

• Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$.
• Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Exemples :

• $f(x) = \cos(2x^2 - 3x + 4)$ est continue sur $\mathbb{R}$ : $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 4$ et $f_2(x) = \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$, $f_1(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, et $f = f_2 \circ f_1$.
• $g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{1 + \sin^2 x}}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ : $D_g = [0, +\infty[$, $g_1(x) = \dfrac{x}{1 + \sin^2 x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ avec $g_1(\mathbb{R}^+) = \mathbb{R}^+$, et $g_2(x) = \sqrt{x}$ continue sur $\mathbb{R}^+$, donc $g = g_2 \circ g_1$.
• $f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)$ est continue sur $\mathbb{R}$ ($x \mapsto x^2 + 1$ continue et ne s'annule pas, et $\sin$ continue sur $\mathbb{R}$).

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ telle que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = l$. Si $v$ est continue en $l$, alors $\displaystyle\lim_{x \to x_0} (v \circ u)(x) = v(l)$.

Exemples :

• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1 - \cos x}{x^2}\,\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ (car $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\,\pi = \frac{\pi}{2}$ et $\sin$ continue).
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\pi\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\right) = \cos(\pi) = -1$ (car $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = 1$ et $\cos$ continue).

Déterminer les limites suivantes :

Le graphe ci-dessous est celui de $f(x) = x^2 + 2x$ (utilisé pour lire graphiquement des images d'intervalles) :

Théorème (admis) : l'image d'un segment $[a, b]$ par une fonction continue est le segment $[m, M]$ où $m = \displaystyle\min_{x \in [a, b]} f(x)$ et $M = \displaystyle\max_{x \in [a, b]} f(x)$.

Cas particulier : si $f$ est continue et croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ ; si $f$ est continue et décroissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

Théorème (admis) : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Remarque : l'intervalle $I$ et son image $f(I)$ par une fonction continue n'ont pas nécessairement la même forme (ouvert, fermé, borné…).

$f$ continue et strictement croissante sur l'intervalle $I$, avec $a \in I$ et $b \in I$ :

$f$ continue et strictement décroissante sur l'intervalle $I$, avec $a \in I$ et $b \in I$ :

Soit $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$. Déterminer les images des intervalles $[0, 1]$ ; $[-2, -1[$ ; $]-1, 1]$ ; $[2, +\infty[$.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. Pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un et un seul $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.

Remarque : cette propriété peut se reformuler ainsi : « pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = \lambda$ admet une solution unique dans $[a, b]$ ».

• Corollaire 1 : soit $f$ continue sur $[a, b]$. Si $f(a) \times f(b) < 0$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.
• Corollaire 2 : soit $f$ continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Si $f(a) \times f(b) < 0$, il existe un et un seul $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.

Montrer que l'équation $4x^3 - 3x - \dfrac{1}{2} = 0$ admet une racine dans chacun des intervalles $\left]-1, -\dfrac{1}{2}\right[$ ; $\left]-\dfrac{1}{2}, 0\right[$ et $]0, 1[$.

Montrer que l'équation $x^3 + x + 1 = 0$ admet une racine unique dans $]-1, 0[$.

Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet au moins une racine dans l'intervalle $I = [0, \pi]$.

Montrer que l'équation $1 + \sin x = x$ admet au moins une racine dans l'intervalle $I = \left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3}\right]$.

On considère $f(x) = x^3 + x - 1$. 1) Montrer que $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.   2) Montrer que $\alpha \in \,]0, 1[$.   3) Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Activité : soit $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. On montre que pour tout $y$ dans $I = [0, +\infty[$, l'équation $f(y) = x$ admet une solution unique dans $J = \,]0, 1]$, et que $f$ est strictement monotone et continue sur $\mathbb{R}$. On dit que $f$ admet une fonction réciproque de $J = \,]0, 1]$ vers $I = [0, +\infty[$.

Théorème : soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie de $J = f(I)$ vers $I$ ; $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$. On a :

Soit $f(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2}$ et $g$ la restriction de $f$ sur $I = \,]-2, +\infty[$. 1) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.   2) Déterminer $g^{-1}(x)$.

Soit $f$ définie sur $I = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x - 1}$. 1) Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer.   2) Déterminer $f^{-1}(x)$.   3) Représenter $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère orthonormé.

• Si $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J = f(I)$ vers $I$, alors $f^{-1}$ a la même monotonie sur $J$ que $f$ sur $I$.
• Si $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J = f(I)$ vers $I$, alors $(C_{f^{-1}})$ et $(C_f)$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$.

Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$ ; la fonction $f : x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet donc une fonction réciproque $f^{-1}$ de $f(\mathbb{R}^+) = \mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$. Cette fonction réciproque s'appelle la fonction racine n-ème et se note $\sqrt[n]{\ }$.

Les courbes de $x \mapsto x^n$ et de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$ :

• La fonction $\sqrt[n]{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^+$ et $(\forall x \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \geq 0$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} = y \iff x = y^n$.
• La fonction $\sqrt[n]{x}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall a \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \geq a \iff x \geq a^n$.
• $(\forall a \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \leq a \iff 0 \leq x \leq a^n$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall p \in \mathbb{N})\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^p = \sqrt[n]{x^p}$.
• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$.
• Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$.
• Si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = l$ et $l \geq 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{l}$.

• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x \times y} = \sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y}$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^{*+})\ \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall n \in \mathbb{N}^*)(\forall p \in \mathbb{N}^*)\ \sqrt[n]{\sqrt[p]{x}} = \sqrt[n \times p]{x}$.
• $(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall n \in \mathbb{N}^*)(\forall p \in \mathbb{N}^*)\ \sqrt[n p]{x^p} = \sqrt[n]{x}$.

Remarque : $(\forall x \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$ et $\sqrt[1]{x} = x$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : $\ 1)\ x^5 = 32 \quad 2)\ x^7 = -128 \quad 3)\ x^4 = 3 \quad 4)\ x^6 = -8$.

À partir de $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ et $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, on obtient, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^{*+}$ :

À partir de $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3)$, on obtient, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^{*+}$ :

Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul :

Propriété : pour tout réel $x \geq 0$ et pour tout entier non nul $q$, on pose $x^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{x}$.

Définition : soit $x$ un réel positif et $r$ un rationnel ($r \in \mathbb{Q}$), $r = \dfrac{p}{q}$ où $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ ; on pose :

Exemple : $2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$ ; $\quad 2^{-\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{2^{-2}} = \sqrt[7]{\dfrac{1}{2^2}} = \sqrt[7]{\dfrac{1}{4}}$.

Soit $x$ et $y$ deux réels positifs, $r$ et $r'$ des rationnels :