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Suites numériques

Cours sur les suites numériques 2 Bac SM BIOF : suites arithmétiques et géométriques, limites, convergence, encadrement et suites adjacentes.

Définition

Suite majorée, minorée, bornée

Soit $(u_n)_{n \in I}$ une suite numérique.

$(u_n)_{n \in I}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I)\ u_n \leq M$.

$(u_n)_{n \in I}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que : $(\forall n \in I)\ m \leq u_n$.

Une suite est bornée si elle est majorée et minorée. $(u_n)_{n \in I}$ est bornée si et seulement s'il existe un réel positif $M$ tel que : $(\forall n \in I)\ |u_n| \leq M$.

Définition

Suite croissante, décroissante

La suite $(u_n)_{n \in I}$ est croissante si et seulement si : $(\forall n \in I)\ u_{n+1} \geq u_n$.

La suite $(u_n)_{n \in I}$ est décroissante si et seulement si : $(\forall n \in I)\ u_{n+1} \leq u_n$.

Définition

Suite convergente, divergente

Une suite qui tend vers une limite finie $l$ s'appelle une suite convergente ; sinon elle est dite divergente.

Propriété

Propriétés de convergence

  • Toute suite convergente est bornée.
  • Si une suite admet une limite finie $l$, cette limite est unique.
  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.
  • Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
  • Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.
Définition

Suite arithmétique

$(u_n)_{n \in I}$ est arithmétique si et seulement si : $(\forall n \in I)\ u_{n+1} = u_n + r$. Le réel $r$ est la raison de la suite.

Formule

Terme général et somme d'une suite arithmétique

Si $(u_n)_{n \in I}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et $u_p$ l'un de ses termes, alors :

$$u_n = u_p + (n - p)\,r \quad (\forall n \in I)$$ $$s_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \frac{(n - p + 1)}{2}\,(u_p + u_n)$$
Définition

Suite géométrique

$(u_n)_{n \in I}$ est géométrique si et seulement si : $(\forall n \in I)\ u_{n+1} = q\,u_n$. Le réel $q$ s'appelle la raison de la suite.

Formule

Terme général et somme d'une suite géométrique

Si $(u_n)_{n \in I}$ est une suite géométrique de raison $q$ et si $p$ est un entier naturel, alors :

$$u_n = q^{\,n - p}\,u_p \quad (\forall n \in I)$$ $$s_n = u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \dots + u_{n-2} + u_{n-1} + u_n$$

Si $q = 1$ alors : $\ s_n = (n - p + 1)\,u_p$.

Si $q \neq 1$ alors : $\ s_n = u_p \, \dfrac{1 - q^{\,n - p + 1}}{1 - q}$.

Définition

Limite infinie d'une suite

On dit que la suite $(u_n)_n$ tend vers $+\infty$ (quand $n$ tend vers $+\infty$) si et seulement si :

$$(\forall A > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(n \geq n_0 \Rightarrow u_n > A) \quad ; \quad \text{on écrit } \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

On dit que la suite $(u_n)_n$ tend vers $-\infty$ (quand $n$ tend vers $+\infty$) si et seulement si :

$$(\forall A > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(n \geq n_0 \Rightarrow u_n < -A) \quad ; \quad \text{on écrit } \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$$
Proposition

Limites infinies de référence

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \iff \lim_{n \to +\infty} (-u_n) = +\infty$$ $$\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty \ (p \in \mathbb{N}^*) \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$
Définition

Limite finie d'une suite

La suite $(u_n)_n$ tend vers $l$ si et seulement si :

$$(\forall \varepsilon > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(n \geq n_0 \Rightarrow |u_n - l| < \varepsilon) \quad ; \quad \text{on écrit } \lim_{n \to +\infty} u_n = l$$
Propriété

Limites nulles de référence

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0 \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \ (p \in \mathbb{N}^*) \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$
Propriété

Limite de la somme de deux suites

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim u_n & l & l & l & +\infty & -\infty & +\infty \\ \hline \lim v_n & l' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & -\infty \\ \hline \lim(u_n + v_n) & l + l' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & \text{F.I.} \\ \hline \end{array}$$

(F.I. = forme indéterminée.)

Propriété

Limite du produit de deux suites

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim u_n & l & l > 0 \text{ ou } +\infty & l > 0 \text{ ou } +\infty & l < 0 \text{ ou } -\infty & l < 0 \text{ ou } -\infty & \pm\infty \\ \hline \lim v_n & l' & +\infty & -\infty & +\infty & -\infty & 0 \\ \hline \lim(u_n \times v_n) & l\,l' & +\infty & -\infty & -\infty & +\infty & \text{F.I.} \\ \hline \end{array}$$
Propriété

Limite de l'inverse d'une suite

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \lim u_n & l \neq 0 & 0^+ & 0^- & \pm\infty \\ \hline \lim\left(\dfrac{1}{u_n}\right) & \dfrac{1}{l} & +\infty & -\infty & 0 \\ \hline \end{array}$$
Propriété

Limite du quotient de deux suites

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim u_n & l & l > 0 \text{ ou } +\infty & l > 0 \text{ ou } +\infty & l < 0 \text{ ou } -\infty & l < 0 \text{ ou } -\infty & 0 & \pm\infty \\ \hline \lim v_n & l' \neq 0 & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & 0 & \pm\infty \\ \hline \lim\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) & \dfrac{l}{l'} & +\infty & -\infty & -\infty & +\infty & \text{F.I.} & \text{F.I.} \\ \hline \end{array}$$
Proposition

Limite de la valeur absolue

$$\lim_{n \to +\infty} |u_n| = 0 \iff \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$
Remarque

Limite d'une suite polynôme et d'une suite rationnelle

La limite d'une suite polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

La limite d'une suite rationnelle est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Théorème

Signe de la limite

Si $(u_n)_n$ est convergente vers $L$ et $(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N) : u_n \geq 0$, alors $L \geq 0$.

Théorème

Comparaison des limites

Si $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont convergentes telles que $(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N)(v_n \leq u_n)$, alors $\lim v_n \leq \lim u_n$.

Théorème

Si $(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N)(v_n \leq u_n)$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.

Théorème

Si $(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N)(v_n \leq u_n)$ et $\lim u_n = -\infty$, alors $\lim v_n = -\infty$.

Théorème

Convergence

Soit $l$ un réel. Si $|u_n - l| \leq v_n$ pour tout $n \geq p$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.

Théorème

Théorème des gendarmes

Si $w_n \leq u_n \leq v_n$ pour tout $n \geq p$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = l$, alors $(u_n)_n$ est convergente et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$.

Théorème

Suite de la forme $v_n = f(u_n)$

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite numérique telle que $(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N)(u_n \in I)$. Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l$ et $f$ continue en $l$, alors :

$$\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)$$
Proposition

suite de la forme $a^n$ et $n^p$

  • Si $a > 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = +\infty$.
  • Si $-1 < a < 1$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = 0$.
  • Si $a \leq -1$ : $(a^n)$ n'a pas de limite.
  • $\lim\limits_{n \to +\infty} n^p = +\infty$ si $p \in \mathbb{N}^*$.
Théorème

Suite récurrente de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite numérique telle que :

  • $f$ est continue sur $I$ ;
  • $f(I) \subset I$ ;
  • $(\forall n \in \mathbb{N})(u_{n+1} = f(u_n))$ ;
  • $u_0 \in I$ (donc $(\forall n \in \mathbb{N})(u_n \in I)$) ;
  • $(u_n)$ est convergente.

Alors la suite $(u_n)$ tend vers $l$, solution de l'équation $f(x) = x$.

Définition

Suites adjacentes

Deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

  • l'une est croissante, l'autre est décroissante ;
  • $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$.
Théorème

Propriété des suites adjacentes

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes, $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante, alors $(\forall n \in \mathbb{N})(u_n \leq v_n)$.

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