Dérivation et Étude de Fonction – 2BAC SM : cours conforme au programme marocain couvrant la dérivabilité, les dérivées, les variations, théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis et l'inégalité des accroissements finis.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de centre $a$.
$f$ est dérivable en $a$ si la limite $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie ; on la note $f'(a)$ : le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$.
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)$ est finie.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a, a + r[$ où $r > 0$. $f$ est dérivable à droite de $a$ si la limite $\lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie : $f'_d(a)$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a - r, a]$ où $r > 0$. $f$ est dérivable à gauche de $a$ si la limite $\lim\limits_{x \to a^-} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$ existe et est finie : $f'_g(a)$.
$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de $a$ et $f'_d(a) = f'_g(a)$.
Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.
Si $f$ est dérivable en $a$, $f$ admet une fonction affine tangente en $a$ de la forme : $u(x) = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Si $f$ est dérivable en $a$ alors sa courbe représentative $C_f$ admet une tangente $(T)$ en $A(a, f(a))$ d'équation :
$$(T) : y = f'(a)(x - a) + f(a)$$Si $f$ est dérivable à droite de $a$, alors son graphe admet une demi-tangente à droite de $a$ :
$$(T_d) : y = f'_d(a)(x - a) + f(a) \quad ; \quad x \geq a$$Si $f$ est dérivable à gauche de $a$, alors son graphe admet une demi-tangente à gauche de $a$ :
$$(T_g) : y = f'_g(a)(x - a) + f(a) \quad ; \quad x \leq a$$Si $f$ est dérivable à droite et à gauche de $a$ et $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, on dit que la courbe représente un point anguleux en $A(a, f(a))$.
$f$ est dérivable sur l'ouvert $]a, b[$ si elle est dérivable en tout point de $]a, b[$.
$f$ est dérivable sur le semi-ouvert $[a, b[$ si elle est dérivable sur $]a, b[$ et dérivable à droite de $a$.
$f$ est dérivable sur le fermé $[a, b]$ si elle est dérivable sur $]a, b[$ et dérivable à droite de $a$ et à gauche de $b$.
La fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \quad \forall x \in \mathbb{R}$$Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. Si $f$ admet un extremum relatif en $a$ alors $f'(a) = 0$.
Si $f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum en $a$, alors sa courbe représentative admet une tangente parallèle à $(Ox)$ en $A(a, f(a))$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et sa fonction dérivée est strictement positive sauf sur un nombre fini de points où elle peut s'annuler, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et sa fonction dérivée est strictement négative sauf sur un nombre fini de points où elle peut s'annuler, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe à droite et à gauche de $a$, alors $f$ admet un extremum en $a$.
$f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et telle que $f(a) = f(b)$. Alors il existe un réel $c \in \,]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. Alors il existe un réel $c \in \,]a, b[$ tel que :
$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$$Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. S'il existe deux réels $M$ et $m$ tels que $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in \,]a, b[$, alors :
$$m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$$Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et $(\forall x \in I)\big(|f'(x)| \leq k$ où $k \in \mathbb{R}_+^*\big)$, alors :
$$(\forall (x, y) \in I^2)\big(|f(x) - f(y)| \leq k|x - y|\big)$$Lorsque $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \infty$, on étudie $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ :
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$.
On dit que $f$ est une fonction paire si pour tout $x$ de $D_f$ on a : $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$.
Remarque : la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On dit que $f$ est une fonction impaire si pour tout $x$ de $D_f$ on a : $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$.
Remarque : la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
On dit que $f$ est une fonction périodique s'il existe un réel positif $T$ tel que, pour tout $x$ de $D_f$, on a : $(x + T) \in D_f$ et $f(x + T) = f(x)$. ($T$ est appelé une période de la fonction $f$.)
Pour étudier la position relative d'une courbe $(C_f)$ et d'une droite $(\Delta) : y = ax + b$ sur un intervalle $I$, on doit étudier le signe de $f(x) - (ax + b)$ sur $I$.
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
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