cours sur la fonction logarithme népérien 2 Bac SM : définition, propriétés algébriques, limites usuelles, dérivée, primitives et logarithme de base a.
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'unique fonction définie et dérivable sur $]0, +\infty[$ vérifiant $\ln 1 = 0$ et, pour tout réel $x > 0$ :
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$$Elle est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
Pour tous réels $x > 0$ ; $y > 0$ ; $r \in \mathbb{Q}$ :
Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $f(x) = \ln(|u(x)|)$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\forall x \in I)\ f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors les primitives de la fonction $x \to \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont les fonctions :
$$F(x) = \ln(|u(x)|) + C^{te}$$Soit $a > 0$ et $a \neq 1$. On note $\log_a$ la fonction logarithmique de base $a$, définie sur $]0, +\infty[$ par :
$$(\forall x \in \,]0, +\infty[)\ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$Pour $x > 0$ ; $y > 0$ ; $r \in \mathbb{Q}$ :
$$\log_a(x \times y) = \log_a x + \log_a y \quad ; \quad \log_a\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x$$ $$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \quad ; \quad \log_a\left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2}\log_a x$$ $$\log_a(x^r) = r\log_a x \quad ; \quad \log_e x = \frac{\ln x}{\ln e} = \ln x$$Pour tout $x \in \,]0, +\infty[$ :
$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$Donc la fonction $\log_a$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
La fonction logarithmique de base $10$ s'appelle la fonction logarithme décimal et se note $\log$ :
$$(\forall x \in \,]0, +\infty[)\ \log x = \frac{\ln x}{\ln 10} \quad \text{et} \quad \log(10) = 1$$Un exercice de ce chapitre vous bloque ? Solutions pas à pas.