Etudier la continuité d'une fonction numérique en un point en utilisant le calcul des limites. Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle en utilisant la continuité des fonctions usuelles, les propriétés des opérations sur les fonctions continues et la composée de deux fonctions continue
Soient $f$ une fonction numérique définie sur un ouvert $I$ et $a \in I$.
On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
$$(\forall \varepsilon > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f) : |x - a| < \alpha \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon$$On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
On dit que $f$ est continue à gauche de $b$ si $\lim\limits_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
On dit que $f$ est une fonction continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
On dit que $f$ est continue sur un intervalle $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.
Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, ainsi que les fonctions $x \mapsto \sqrt{x}$, $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur chaque intervalle inclus dans leur domaine de définition.
La partie entière n'est pas continue en tout $k$ de $\mathbb{Z}$.
La partie entière est continue sur l'intervalle $[k, k+1[$ pour tout $k$ de $\mathbb{Z}$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.
Soit $I$ un intervalle ouvert, soit $a \in I$ et $f$ une fonction définie sur $I$ avec $\lim\limits_{x \to a} f(x) = l \in \mathbb{R}$, et $g$ une fonction continue sur $J$ avec $f(I) \subset J$ ; alors $\lim\limits_{x \to a} (g \circ f)(x) = g(l)$.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
Pour $f$ continue et strictement monotone, l'image $f(I)$ est donnée pour chaque intervalle $I$ selon le sens de variation :
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ ; pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $\alpha \in [a, b]$ telle que $f(\alpha) = k$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ telle que $f(a)\,f(b) < 0$. Alors : l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.
Si de plus $f$ est strictement monotone, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $]a, b[$.
Le but de cette méthode est d'approcher la solution d'une équation de type $f(x) = 0$.
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ telle que $f(a)\,f(b) < 0$, alors $\exists! \, \alpha \in \,]a, b[ \ / \ f(\alpha) = 0$. On a deux cas :
On continue de cette manière jusqu'à l'encadrement demandé de $\alpha$.
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $J = f(I)$. La fonction qui lie chaque élément $y$ de $J$ avec l'unique élément $x$ de $I$ tel que $f(x) = y$ s'appelle la fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$. On a donc :
$$\begin{cases} f^{-1}(x) = y \\ x \in J \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases}$$La restriction de la fonction $x \mapsto \tan(x)$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$ est continue et strictement croissante sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, donc elle est bijective et sa bijection réciproque est appelée Arctangente, qui sera notée $x \mapsto \arctan(x)$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, alors elle est bijective de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ et sa bijection réciproque est appelée fonction racine n-ième, notée $\sqrt[n]{\ }$.
Pour tout $r, r' \in \mathbb{Q}$ et pour tout $x, y \in \,]0, +\infty[$ on a :
$$x^{r+r'} = x^r x^{r'} \; ; \quad \left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r} \; ; \quad x^{rr'} = \left(x^r\right)^{r'} \; ; \quad \frac{1}{x^r} = x^{-r} \; ; \quad \frac{x^r}{x^{r'}} = x^{r-r'} \; ; \quad (xy)^r = x^r y^r$$ $$\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = \frac{x - y}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}} \; ; \quad \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = \frac{x - y}{\left(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{y^2}\right)}$$Un exercice de ce chapitre vous bloque ? Solutions pas à pas.