Exercices corrigés : Logique mathématique 1 bac SM

On utilise un raisonnement par contraposée pour cela on démontre :

$\forall x,y\in\,]2,+\infty[\ ,\ x^2-4x=y^2-4y \Rightarrow x=y$ :

Soient $x$ et $y$ de $]2,+\infty[$ tel que $x^2-4x=y^2-4y$.

$$\begin{aligned} x^2-4x=y^2-4y &\Rightarrow x^2-4x+4=y^2-4y+4 \\ &\Rightarrow (x-2)^2=(y-2)^2 \\ &\Rightarrow x-2=y-2 \text{ et } x-2=-(y-2) \\ &\Rightarrow x=y \text{ et } x+y-4=0 \\ &\Rightarrow x=y \end{aligned}$$

$x+y-4=0$ est impossible car $x>2$ et $y>2$ d'où $x+y>4$ ou encore $x+y-4>0$.

Donc $x^2-4x=y^2-4y \Rightarrow x=y$ est une implication vraie c.à.d. l'implication contraposée est vraie

Conclusion : $\forall x,y\in\,]2,+\infty[\ ,\ x\neq y \Rightarrow x^2-4x\neq y^2-4y$

Soit $x \in \mathbb{R}$ :

ona

$$\begin{aligned}\dfrac{x^2+4}{2}\geq 2x &\Leftrightarrow x^2+4\geq 4x \\ &\Leftrightarrow x^2+4-4x\geq 0 \\ &\Leftrightarrow x^2-4x+2^2\geq 0 \\ &\Leftrightarrow (x-2)^2\geq 0\end{aligned}$$

Or $(x-2)^2\geq 0$ alors $\dfrac{x^2+4}{2}\geq 2x$ et par suite $(\forall x \in \mathbb{R});\dfrac{x^2+4}{2}\geq 2x$

Pour $n = 0$, $4^0 - 1 = 0$ et 3 divise 0. Donc la propriété est vraie pour $n = 1$.

Soit $n \in \mathbb{N}$, supposons que 3 divise $4^n - 1$.

Montrons que 3 divise $4^{n+1} - 1$ :

$$\begin{aligned} 4^{n+1} - 1 &= 4 \times 4^n - 1 \\ &= 3 \times 4^n + 4^n - 1 \end{aligned}$$

D'après l'hypothèse de la récurrence, il existe un entier naturel $k$ tel que $4^n - 1 = 3k$.

Donc $4^{n+1} - 1 = 3 \times 4^n + 3k = 3(4^n + k) = 3k'$ et $k' \in \mathbb{N}$.

Ce qui entraine que 3 divise $4^{n+1} - 1$.

D'où d'après le principe de récurrence on conclut que 3 divise $4^n - 1$ ($\forall n \in \mathbb{N}$).

On suppose que $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$

C'est -à-dire $(\exists a \in \mathbb{IN}^*)(\exists b \in \mathbb{IN}^*)$ ; $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ et $a \wedge b = 1$ $(\sqrt{3} > 0)$

$$\begin{aligned} \sqrt{3} = \frac{a}{b} &\Rightarrow \sqrt{3}^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \\ &\Rightarrow 3 = \frac{a^2}{b^2} \\ &\Rightarrow 3b^2 = a^2 \end{aligned}$$

Donc $a^2$ est un multiple de 3 $\Rightarrow$ $a$ est un multiple de 3

Je démontre ça par le raisonnement de contraposé

$a^2$ est un multiple de 3 $\Rightarrow$ $a$ est un multiple de 3

J'applique le raisonnement de contraposé

C'est-à-dire $a$ n'est pas un multiple de 3 $\Rightarrow$ $a^2$ n'est pas un multiple de 3

On a , $a$ n'est pas un multiple de 3 , signifie que le reste $r$ de la division euclidienne $a$ par 3 prendra les valeurs suivantes $r = 1$ et $r = 2$

1er cas : si $r = 1$ alors $a = 3k + 1$

$$\begin{aligned} a = 3k+1 &\Rightarrow a^2 = (3k+1)^2 \\ &\Rightarrow a^2 = 9k^2 + 6k + 1 \\ &\Rightarrow a^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1 \\ &\Rightarrow \exists p \in \mathbb{IN}\quad a^2 = 3p + 1 \\ &\Rightarrow a^2 \text{ n'est pas multiple de 3} \end{aligned}$$

2eme cas : si $r = 2$ alors $a = 3k + 2$

$$\begin{aligned} a = 3k+2 &\Rightarrow a^2 = (3k+2)^2 \\ &\Rightarrow a^2 = 9k^2 + 12k + 4 \\ &\Rightarrow a^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 \\ &\Rightarrow \exists n \in \mathbb{IN}\quad a^2 = 3n + 1 \\ &\Rightarrow a^2 \text{ n'est pas multiple de 3} \end{aligned}$$

D'où d'après le raisonnement par le contraposé

$a^2$ est un multiple de 3 $\Rightarrow$ $a$ est un multiple de 3

et on a

$$\begin{aligned} \sqrt{3} = \frac{a}{b} &\Rightarrow 3b^2 = a^2 \text{ et } a = 3k \\ &\Rightarrow 3b^2 = (3k)^2 \text{ et } a = 3k \\ &\Rightarrow 3b^2 = 9k^2 \\ &\Rightarrow b^2 = 3k^2 \\ &\Rightarrow b^2 \text{ est un multiple de 3} \\ &\Rightarrow b \text{ aussi est un multiple de 3} \end{aligned}$$

ce qui contradictoire car 3 divise a et b ce qui donne $a \wedge b \geq 3$ . il y a contredit avec l'hypothèse $a \wedge b = 1$

Alors d'après le raisonnement par l'absurde $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$

L'équation s'écrit aussi $x \in ]-\infty,-1] \cup [-1,+\infty[ : |x+1|+2x=0$

1er cas $x \in ]-\infty,-1]$

$$\begin{aligned}|x+1|+2x=0 &\Leftrightarrow -(x+1)+2x=0 \\ &\Leftrightarrow x-1=0 \\ &\Leftrightarrow x=1 \notin ]-\infty,-1]\end{aligned}$$

D'où : $S_1=\emptyset$.

2ième cas $x \in [-1,+\infty[$.

$$\begin{aligned}|x+1|+2x=0 &\Leftrightarrow (x+1)+2x=0 \\ &\Leftrightarrow 3x+1=0 \\ &\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3} \in [-1,+\infty[\end{aligned}$$

Donc : $S_2=\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Conclusion : $S=S_1 \cup S_2=\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.