Définition
Proposition
Une proposition est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
Le chapitre Logique mathématique en 1 bac SM : propositions, opérateurs logiques et tables de vérité, quantificateurs et leurs négations, et les sept types de raisonnement, avec exercices corrigés.
Une proposition est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
Si $P$ est une proposition et $Q$ est une autre proposition, on définit de nouvelles propositions construites à partir de $P$ et de $Q$. La proposition « $P$ et $Q$ » est vraie si $P$ est vraie et $Q$ est vraie ; elle est fausse sinon. On résume ceci dans une table de vérité :
| $P$ | $Q$ | $P$ et $Q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Soient les propositions $P : \left(\sqrt{3} \geq 1\right)$ et $Q : \left(\left|-\sqrt{3}\right| = -\sqrt{3}\right)$. La proposition $P$ est vraie et $Q$ est fausse, donc la proposition « $P$ et $Q$ » est fausse.
Si $P$ est la proposition « Cette carte est un as » et $Q$ la proposition « Cette carte est cœur », alors la proposition « $P$ et $Q$ » est vraie si la carte est l'as de cœur, et fausse pour toute autre carte.
La proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie si l'une (au moins) des deux propositions $P$ ou $Q$ est vraie. Elle est fausse si les deux propositions $P$ et $Q$ sont fausses.
| $P$ | $Q$ | $P$ ou $Q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Soient les propositions $P : \left(\sqrt{3} \geq 1\right)$ et $Q : \left(\left|-\sqrt{3}\right| = -\sqrt{3}\right)$. La proposition $P$ est vraie et $Q$ est fausse, donc la proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie.
La proposition « non $P$ » est vraie si $P$ est fausse, et fausse si $P$ est vraie. On note $\overline{P}$ la négation de la proposition $P$.
| $P$ | $\overline{P}$ |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
La proposition « (non $P$) ou $Q$ » est notée « $P \Rightarrow Q$ ». Sa table de vérité est donc la suivante :
| $P$ | $Q$ | $P \Rightarrow Q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
La proposition « $P \Rightarrow Q$ » se lit en français « $P$ implique $Q$ ». Elle se lit souvent aussi « si $P$ est vraie alors $Q$ est vraie » ou « si $P$ alors $Q$ ».
« $0 \leq 1$ » $\Rightarrow$ « $\sqrt{2} = 1$ » est fausse.
« $1 + 2 = 4$ » $\Rightarrow$ « $\sqrt{2} = -1$ » est vraie : si $P$ est fausse alors la proposition « $P \Rightarrow Q$ » est toujours vraie.
$0 \leq x \leq 100 \Rightarrow \sqrt{x} \leq 10$ est vraie (prendre la racine carrée).
$x \in \,]-\infty ; -4] \Rightarrow x^2 + 3x - 4 > 0$ est vraie (étudier le binôme).
« $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0$ » est fausse (regarder pour $x = 2\pi$ par exemple).
Les propositions suivantes ont la même signification : si $ABCD$ est un carré alors $ABCD$ est un parallélogramme ; $ABCD$ est un carré implique $ABCD$ est un parallélogramme ; pour que $ABCD$ soit un parallélogramme il suffit qu'il soit un carré ; pour que $ABCD$ soit un carré il faut qu'il soit un parallélogramme.
En général, si on a $P \Rightarrow Q$ on peut dire que $Q$ est une condition nécessaire pour $P$, et que $P$ est une condition suffisante pour $Q$. Ainsi « $ABCD$ est un parallélogramme » est nécessaire pour que $ABCD$ soit un carré, et « $ABCD$ est un carré » est suffisante pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
L'équivalence est définie par : « $P \Leftrightarrow Q$ » est la proposition « $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$ ». On dira « $P$ est équivalent à $Q$ », ou « $P$ équivaut à $Q$ », ou « $P$ si et seulement si $Q$ ». Cette proposition est vraie lorsque $P$ et $Q$ sont vraies ou lorsque $P$ et $Q$ sont fausses.
| $P$ | $Q$ | $P \Leftrightarrow Q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
« $0 \leq -1$ » $\Leftrightarrow$ « $\sqrt{2} = 1$ » est vraie.
Pour $x \in \mathbb{R}$ et $x' \in \mathbb{R}$, l'équivalence $x \times x' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x' = 0$ est vraie.
Voici une équivalence toujours fausse, quelle que soit la proposition $P$ : « $P \Leftrightarrow$ non$(P)$ ».
On appelle loi logique toute proposition constituée par des propositions liées entre elles par des connecteurs logiques et qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la constituent. Une loi logique s'appelle aussi une tautologie.
Soient $P$, $Q$, $R$ trois propositions. Les équivalences suivantes sont vraies :
Pour les démontrer, il suffit de dresser les tables de vérité des deux membres : comme elles sont égales, les deux propositions sont équivalentes.
Si une proposition $P$ dépend d'un paramètre $x$, on l'appelle fonction propositionnelle. Une fonction propositionnelle sur un ensemble $E$ est une expression contenant une ou plusieurs variables libres dans $E$, et qui est susceptible de devenir une proposition vraie ou fausse si l'on attribue à ces variables certaines valeurs particulières de l'ensemble $E$.
Par exemple pour « $x^2 \geq 0$ », la fonction propositionnelle $P(x)$ est vraie ou fausse selon la valeur de $x$ ; la proposition « $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 0$ » est une proposition vraie.
On note $\forall x \in E : P(x)$ et on lit « pour tout $x$ appartenant à $E$, $P(x)$ », sous-entendu « pour tout $x$ appartenant à $E$, $P(x)$ est vraie ».
La proposition $\exists x \in E / P(x)$ est une proposition vraie lorsque l'on peut trouver au moins un $x$ de $E$ pour lequel $P(x)$ est vraie. On lit « il existe $x$ appartenant à $E$ tel que $P(x)$ (soit vraie) ».
« $\forall x \in [1 ; +\infty[ : x^2 \geq 1$ » est une proposition vraie.
« $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 1$ » est une proposition fausse.
« $\forall n \in \mathbb{N} : n(n+1)$ est divisible par 2 » est vraie.
« $\exists x \in \mathbb{R} : x(x-1) \geq 0$ » est vraie : par exemple $x = 1$ vérifie bien la propriété.
« $\exists n \in \mathbb{N} : n^2 - n \geq n$ » est vraie : il y a plein de choix, par exemple $n = 3$ convient, mais aussi $n = 10$ ou même $n = 100$ ; un seul suffit pour dire que la proposition est vraie.
« $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = -1$ » est fausse : aucun réel au carré ne donne un nombre négatif.
La négation de « $\forall x \in E : P(x)$ » est « $\exists x \in E : \overline{P(x)}$ ».
La négation de « $\exists x \in E : P(x)$ » est « $\forall x \in E : \overline{P(x)}$ ».
La négation de « $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 1$ » est la proposition $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 < 1$. En effet la négation de $x^2 \geq 1$ est non$\left(x^2 \geq 1\right)$, mais s'écrit plus simplement $x^2 < 1$.
La négation de « $\forall x \in \mathbb{R} : x + 1 \in \mathbb{Z}$ » est « $\exists x \in \mathbb{R} : x + 1 \notin \mathbb{Z}$ ».
La négation de « $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 = -1$ » est « $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \neq -1$ ».
La négation de $P : $ « $\forall x \in \mathbb{R} ; \exists y > 0 : x + y \geq 10$ » est $\overline{P} : $ « $\exists x \in \mathbb{R} ; \forall y > 0 : x + y < 10$ ».
L'ordre des quantificateurs est très important. Les deux phrases logiques « $\forall x \in \mathbb{R} ; \exists y \in \mathbb{R} : x + y > 0$ » et « $\exists x \in \mathbb{R} ; \forall y \in \mathbb{R} : x + y \geq 0$ » sont différentes : la première est vraie, la seconde est fausse. Une phrase logique se lit de gauche à droite : la première affirme « pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ (qui peut donc dépendre de $x$) tel que $x + y > 0$ » — on peut prendre $y = |x| + 1$. La deuxième se lit « il existe un réel $y$, tel que pour tout réel $x$, $x + y > 0$ » : cela ne peut pas être le même $y$ qui convient pour tous les $x$.
On retrouve la même différence en français : « pour toute personne, il existe un numéro de téléphone » est vraie, le numéro dépendant de la personne ; « il existe un numéro, pour toutes les personnes » est fausse, ce serait le même numéro pour tout le monde.
Quand on écrit « $\exists x \in \mathbb{R} : f(x) = 0$ », cela signifie juste qu'il existe au moins un réel pour lequel $f$ s'annule ; rien ne dit que ce $x$ est unique. Afin de préciser que $f$ s'annule en une unique valeur, on ajoute un point d'exclamation : $\exists ! x \in \mathbb{R} : f(x) = 0$.
Pour la négation d'une phrase logique, il n'est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie : le procédé est algorithmique, on change le « pour tout » en « il existe » et inversement.
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.
1) $P : $ « $\forall x \in \mathbb{R} / x^2 > 0$ »
2) $P : $ « $\exists x \in \mathbb{R} / x^2 - 2 = 0$ »
3) $P : x \in [1 ; 2[$
4) $P : $ « $\forall n \in \mathbb{N} / \dfrac{n}{2} \in \mathbb{N}$ »
5) $P : (\forall x \in \mathbb{R}) ; -1 \leq \cos x \leq 1$
6) $P : (\forall n \in \mathbb{N}) ; (\exists m \in \mathbb{N}) : n < m$
7) $P : (\exists n \in \mathbb{N})\ 2n + 1$ est pair
8) $P : (\forall n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{n} \in \mathbb{N}$
9) $P : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (\exists y \in \mathbb{R}) : y - x > 0$
10) $P : (\exists ! x \in \mathbb{R}) ; 2x + 4 = 0$
11) $P : (\exists ! x \in \mathbb{R}) ; x^2 = 2$
12) $P : (\exists x \in \mathbb{Z}) ; \dfrac{x}{4} \in \mathbb{Z}$
13) $P : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (\exists y \in \mathbb{R}) : y^2 = x$
1) $\overline{P} : $ « $\exists x \in \mathbb{R} / x^2 \leq 0$ » ; $P$ est fausse.
2) $\overline{P} : $ « $\forall x \in \mathbb{R} / x^2 - 2 \neq 0$ » ; $P$ est vraie.
3) $\overline{P} : x \notin [1 ; 2[$
4) $\overline{P} : $ « $\exists n \in \mathbb{N} / \dfrac{n}{2} \notin \mathbb{N}$ » ; $P$ est fausse.
5) $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}) ; \cos x > 1$ ou $\cos x < -1$ ; $P$ est vraie.
6) $\overline{P} : (\exists n \in \mathbb{N}) ; (\forall m \in \mathbb{N}) : n \geq m$ ; $P$ est vraie.
7) $\overline{P} : (\forall n \in \mathbb{N})\ 2n + 1$ est impair ; $P$ est fausse.
8) $\overline{P} : (\exists n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{n} \notin \mathbb{N}$ ; $P$ est fausse.
9) $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (\forall y \in \mathbb{R}) : y - x \leq 0$ ; $P$ est vraie.
10) $P$ est vraie.
11) $P$ est fausse.
12) $\overline{P} : (\forall x \in \mathbb{Z}) ; \dfrac{x}{4} \notin \mathbb{Z}$ ; $P$ est vraie.
13) $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (\forall y \in \mathbb{R}) : y^2 \neq x$ ; $P$ est fausse.
Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes.
1) Le carré de tout réel est positif.
2) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
3) Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
4) Tous les réels ne sont pas des quotients d'entiers.
5) Il existe un entier multiple de tous les autres.
6) Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
1) « $\forall x \in \mathbb{R} / x^2 \geq 0$ »
2) « $\exists x \in \mathbb{R}, x > x^2$ »
3) $(\forall n \in \mathbb{N}) ; (\exists m \in \mathbb{N}) : n < m$
4) $(\exists x \in \mathbb{R}) : (\forall n \in \mathbb{Z}) ; \left(\forall m \in \mathbb{N}^*\right) : x \neq \dfrac{n}{m}$
5) $(\exists n \in \mathbb{N}) ; (\forall m \in \mathbb{N})(\exists k \in \mathbb{N}) : n = m \times k$
6) $(\forall x \in \mathbb{R}) ; (\forall y \in \mathbb{R}) / x < y \Rightarrow \exists z \in \mathbb{Q} / x < z < y$
On veut montrer que la proposition « $P \Rightarrow Q$ » est vraie. On suppose que $P$ est vraie et on montre qu'alors $Q$ est vraie.
1) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Montrer que si $0 \leq x < 2$ et $0 \leq y < 2$ alors $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} > 1$.
2) Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Montrer que $\dfrac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow x = 0$.
3) Montrer que $\left(\forall (a ; b) \in \mathbb{R}^2\right) : a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a = 0$ et $b = 0$ ; puis, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^+$, que $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1$.
4) Montrer que $\left(\forall (a ; b) \in \mathbb{R}^2\right) : a^2 + b^2 = 1 \Rightarrow |a + b| \leq \sqrt{2}$.
5) Montrer que si $a \in \mathbb{Q}$ et $b \in \mathbb{Q}$ alors $a + b \in \mathbb{Q}$.
6) On considère la fonction définie sur $\mathbb{R} - \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{x+2}{2x+1}$. Montrer que $|x - 1| < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{4}|x-1| \leq |f(x) - f(1)| \leq \dfrac{1}{2}|x-1|$.
7) Montrer que $n \in \mathbb{N} \Rightarrow \dfrac{n+1}{n+2} \notin \mathbb{N}$.
8) Montrer que pour tout $x \in [-2 ; 2]$, $2\sqrt{2} > \sqrt{4 - x^2}$.
1) De $0 \leq x < 2$ on tire $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{2}$, et de $0 \leq y < 2$ on tire $\dfrac{1}{y} > \dfrac{1}{2}$. Donc $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} > \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} > 1$.
2) $\dfrac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow \left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right) = 1 \Rightarrow 1 - \left(\sqrt{x}\right)^2 = 1 \Rightarrow 1 - x = 1 \Rightarrow x = 0$.
3) $a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a^2 = -b^2 \Rightarrow a^2 \in \mathbb{R}^-$. Or on sait que $a^2 \in \mathbb{R}^+$, donc $a^2 \in \mathbb{R}^+ \cap \mathbb{R}^-$, donc $a^2 = 0$ et $a = 0$ ; et puisque $a^2 + b^2 = 0$, alors $b = 0$.
Ensuite $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 + y - 2\sqrt{y} + 1 = 0$, soit $\left(\sqrt{x}-1\right)^2 + \left(\sqrt{y}-1\right)^2 = 0$. D'après ce qui précède, $\sqrt{x} - 1 = 0$ et $\sqrt{y} - 1 = 0$, donc $x = 1$ et $y = 1$.
4) Supposons $a^2 + b^2 = 1$. On sait que $(a-b)^2 \geq 0$, donc $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$ ; comme $a^2 + b^2 = 1$, on obtient $1 - 2ab \geq 0$, donc $2ab \leq 1$. Par suite $a^2 + b^2 + 2ab \leq 2$, donc $(a+b)^2 \leq 2$, donc $\sqrt{(a+b)^2} \leq \sqrt{2}$, c'est-à-dire $|a+b| \leq \sqrt{2}$.
5) Les rationnels sont les réels s'écrivant $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$. Alors $a = \dfrac{p}{q}$ et $b = \dfrac{p'}{q'}$, donc $a + b = \dfrac{p \times q' + q \times p'}{q \times q'}$. Le numérateur $p q' + q p'$ est un élément de $\mathbb{Z}$ et le dénominateur $q q'$ un élément de $\mathbb{N}^*$, donc $a + b$ s'écrit bien $\dfrac{p''}{q''}$ avec $p'' \in \mathbb{Z}$ et $q'' \in \mathbb{N}^*$. Ainsi $a + b \in \mathbb{Q}$.
6) $|x-1| < \dfrac{1}{2} \Rightarrow -\dfrac{1}{2} < x - 1 < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}$. On a $f(x) - f(1) = \dfrac{x+2}{2x+1} - 1 = \dfrac{1-x}{2x+1}$, donc $|f(x) - f(1)| = |1-x| \times \dfrac{1}{|2x+1|}$.
Et $\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2 < 2x + 1 < 4 \Rightarrow \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{|2x+1|} < \dfrac{1}{2}$, d'où $\dfrac{1}{4}|x-1| \leq |f(x)-f(1)| \leq \dfrac{1}{2}|x-1|$.
7) Soit $n \in \mathbb{N}$ ; alors $n + 1 < n + 2$, donc $0 < \dfrac{n+1}{n+2} < 1$, donc $\dfrac{n+1}{n+2} \notin \mathbb{N}$.
8) L'inéquation est définie sur $D_I = [-2 ; 2]$. Soit $x \in [-2 ; 2]$ :
$$2\sqrt{2} - \sqrt{4-x^2} = \frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{4-x^2}\right)^2}{2\sqrt{2} + \sqrt{4-x^2}} = \frac{8 - 4 + x^2}{2\sqrt{2} + \sqrt{4-x^2}} = \frac{4 + x^2}{2\sqrt{2} + \sqrt{4-x^2}} > 0$$Donc $2\sqrt{2} > \sqrt{4-x^2}$ pour tout $x \in [-2 ; 2]$.
Si l'on souhaite vérifier une proposition $P(x)$ pour tous les $x$ dans un ensemble $E$, on montre la proposition pour les $x$ dans une partie $A$ de $E$, puis pour les $x$ n'appartenant pas à $A$. C'est la méthode de disjonction des cas, ou méthode cas par cas.
Autrement dit : si on montre que les deux propositions $\overline{P} \Rightarrow Q$ et $P \Rightarrow Q$ sont vraies, on peut conclure que $Q$ est vraie.
1) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|x - 1| \leq x^2 - x + 1$.
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(E) : 1 - \dfrac{x}{4} > \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$.
3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(1) : |x-1| + 2x - 3 \geq 0$.
4) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt{x^2+1} + x > 0$.
5) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(1) : x^2 - |x-2| + 5 = 0$.
6) Montrer que $n(n+1)(n+2)$ est un multiple de 3 pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1) Soit $x \in \mathbb{R}$ ; nous distinguons deux cas.
Premier cas, $x > 1$ : alors $|x-1| = x-1$ et $\left(x^2-x+1\right) - (x-1) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \geq 0$. Ainsi $x^2 - x + 1 \geq |x-1|$.
Deuxième cas, $x < 1$ : alors $|x-1| = -(x-1)$ et $\left(x^2-x+1\right) + (x-1) = x^2 \geq 0$. Et donc $x^2 - x + 1 \geq |x-1|$.
Conclusion : dans tous les cas $x^2 - x + 1 \geq |x-1|$.
2) Soit $S$ l'ensemble des solutions de $(E)$ et $x \in \,]-1 ; +\infty[$ ; on a $x \in S \iff \dfrac{4-x}{4} > \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$.
Premier cas, $x \in [4 ; +\infty[$ : alors $4 - x \leq 0$, donc $S_1 = \varnothing$.
Deuxième cas, $x \in \,]-1 ; 4[$ : alors $4 - x \geq 0$, donc $\dfrac{4-x}{4} > \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \iff \left(\dfrac{4-x}{4}\right)^2 > \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\right)^2 \iff x\left(x^2 - 7x + 8\right) > 0$, soit $x \in \,\left]0 ; \dfrac{7-\sqrt{17}}{2}\right]$.
Donc $S = S_1 \cup S_2 = \,\left]0 ; \dfrac{7-\sqrt{17}}{2}\right]$.
3) On détermine le signe de $x - 1$.
Si $x \in [1 ; +\infty[$ alors $|x-1| = x-1$ et l'inéquation devient $3x - 4 \geq 0 \iff x \geq \dfrac{4}{3}$, donc $S_1 = \left[\dfrac{4}{3} ; +\infty\right[ \cap [1 ; +\infty[ = \left[\dfrac{4}{3} ; +\infty\right[$.
Si $x \in \,]-\infty ; 1]$ alors $|x-1| = -x+1$ et l'inéquation devient $-x + 1 + 2x - 3 \geq 0 \iff x \geq 2$, donc $S_2 = [2 ; +\infty[ \cap \,]-\infty ; 1] = \varnothing$.
Finalement $S = \left[\dfrac{4}{3} ; +\infty\right[$.
4) Premier cas, $x \geq 0$ : alors $x^2 \geq 0$ donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, donc $\sqrt{x^2+1} > 0$ et comme $x \geq 0$, $\sqrt{x^2+1} + x > 0$.
Deuxième cas, $x \leq 0$ : on a $x^2 + 1 > x^2$, donc $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{x^2} = |x|$ ; or $x \leq 0$, donc $\sqrt{x^2+1} > -x$, d'où $\sqrt{x^2+1} + x > 0$.
Finalement $\sqrt{x^2+1} + x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
5) On étudie le signe de $x - 2$.
Premier cas, $x \in [2 ; +\infty[$ : alors $|x-2| = x-2$ et l'équation devient $x^2 - x + 7 = 0$ ; $\Delta = 1 - 28 = -27 < 0$, donc $S_1 = \varnothing$.
Deuxième cas, $x \in \,]-\infty ; 2[$ : alors $|x-2| = -x+2$ et l'équation devient $x^2 + x + 3 = 0$ ; $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$, donc $S_2 = \varnothing$.
Finalement $S = \varnothing$.
6) Soit $n \in \mathbb{N}$ ; il n'y a que 3 cas possibles : $n = 3k$, $n = 3k+1$ ou $n = 3k+2$ avec $k \in \mathbb{N}$.
Si $n = 3k$ : $n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2) = 3k'$ avec $k' = k(3k+1)(3k+2)$.
Si $n = 3k+1$ : $n(n+1)(n+2) = (3k+1)(3k+2)(3k+3) = 3(3k+1)(3k+2)(k+1) = 3k'$.
Si $n = 3k+2$ : $n(n+1)(n+2) = (3k+2)(3k+3)(3k+4) = 3(3k+2)(k+1)(3k+4) = 3k'$.
Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n(n+1)(n+2)$ est un multiple de 3.
Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante : la proposition « $P \Rightarrow Q$ » est équivalente à « non$(Q) \Rightarrow$ non$(P)$ ». Donc si l'on souhaite montrer la proposition « $P \Rightarrow Q$ », on montre en fait que non$(Q) \Rightarrow$ non$(P)$ est vraie.
1) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Montrer que $x \neq 2$ et $y \neq 2 \Rightarrow 2x + 2y - xy - 2 \neq 2$.
2) Soit $x \in \mathbb{R}$ avec $x \neq -5$. Montrer que $x \neq -8 \Rightarrow \dfrac{x+2}{x+5} \neq 2$.
3) Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
4) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Montrer que $x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$.
5) Soient $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$. Montrer que $n \times p$ est pair ou $n^2 - p^2$ est un multiple de 8.
1) Montrons que $2x + 2y - xy - 2 = 2 \Rightarrow x = 2$ ou $y = 2$. On a $2x + 2y - xy - 4 = 0$, donc $x(2-y) - 2(2-y) = 0$, donc $(2-y)(x-2) = 0$, donc $y = 2$ ou $x = 2$. Par contraposition, $x \neq 2$ et $y \neq 2 \Rightarrow 2x + 2y - xy - 2 \neq 2$.
2) Montrons que $\dfrac{x+2}{x+5} = 2 \Rightarrow x = -8$. On a $x + 2 = 2(x+5)$, donc $x + 2 = 2x + 10$, donc $x = -8$. Par contraposition, $x \neq -8 \Rightarrow \dfrac{x+2}{x+5} \neq 2$.
3) Supposons que $n$ n'est pas pair ; nous voulons montrer qu'alors $n^2$ n'est pas pair. Comme $n$ est impair, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 = 2k' + 1$ avec $k' = 2k^2 + 2k \in \mathbb{N}$, donc $n^2$ est impair.
Nous avons montré que si $n$ est impair alors $n^2$ est impair ; par contraposition, si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
4) Montrons que $(x+1)(y-1) = (x-1)(y+1) \Rightarrow x = y$. On a $xy - x + y - 1 = xy + x - y - 1$, donc $-2x = -2y$, donc $x = y$. Par contraposition, $x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$.
5) Si $n$ ou $p$ est pair, alors $n \times p$ est pair. Si $n$ et $p$ sont impairs, alors $n = 2k+1$ et $p = 2k'+1$ avec $k \in \mathbb{N}$ et $k' \in \mathbb{N}$, donc :
$$n^2 - p^2 = (2k+1)^2 - (2k'+1)^2 = 4\big(k(k+1) - k'(k'+1)\big)$$et comme $m(m+1)$ est pair, $n^2 - p^2 = 4(2\alpha - 2\beta) = 8(\alpha - \beta)$, donc $n^2 - p^2$ est un multiple de 8.
Le raisonnement par l'absurde repose sur le principe suivant : pour montrer « $P \Rightarrow Q$ », on suppose à la fois que $P$ est vraie et que $Q$ est fausse, et on cherche une contradiction. Ainsi si $P$ est vraie alors $Q$ doit être vraie, et donc « $P \Rightarrow Q$ » est vraie.
1) Soient $a > 0$ et $b > 0$. Montrer que si $\dfrac{a}{1+b} = \dfrac{b}{1+a}$ alors $a = b$.
2) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x$. Montrer qu'il n'existe pas de nombre positif $M$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$.
3) Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
4) Soient $a$ et $b$ dans $\mathbb{Q}$. Montrer que $a + b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a = b = 0$, puis en déduire que $a + b\sqrt{2} = a' + b'\sqrt{2} \Rightarrow a = a'$ et $b = b'$.
5) On considère l'ensemble $A = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \dots ; n\}$ avec $n$ un nombre entier impair, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments de $A$ distincts deux à deux. Montrer qu'il existe $i \in A$ tel que $x_i - i$ est pair.
1) Raisonnons par l'absurde en supposant que $\dfrac{a}{1+b} = \dfrac{b}{1+a}$ et $a \neq b$. Alors $a(1+a) = b(1+b)$, donc $a + a^2 = b + b^2$, d'où $a^2 - b^2 = b - a$. Cela conduit à $(a-b)(a+b) = -(a-b)$. Comme $a \neq b$, alors $a - b \neq 0$ et en divisant par $a-b$ on obtient $a + b = -1$. La somme des deux nombres positifs $a$ et $b$ ne peut être négative : contradiction. Conclusion : si $\dfrac{a}{1+b} = \dfrac{b}{1+a}$ alors $a = b$.
2) Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe un nombre positif $M$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$. Alors $x^2 + 2x \leq M$, donc $x^2 + 2x + 1 \leq M + 1$, donc $(x+1)^2 \leq M+1$, donc $|x+1| \leq \sqrt{M+1}$, donc $-\sqrt{M+1} - 1 \leq x \leq \sqrt{M+1} - 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Nous obtenons une contradiction, car il suffit de prendre $x = \sqrt{M+1}$. Donc notre supposition est fausse : il n'existe pas de nombre positif $M$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq M$.
3) Raisonnons par l'absurde en supposant que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Il existe alors $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ tels que $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ avec $a \wedge b = 1$.
De $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ on tire $a = b\sqrt{2}$, donc $a^2 = 2b^2$, donc $a^2$ est pair et $a$ est pair. Et $a^2 = 2b^2$ donne $4k^2 = 2b^2$, donc $2k^2 = b^2$, donc $b^2$ est pair et $b$ est pair.
Donc $a$ et $b$ sont tous les deux pairs, c'est-à-dire $a \wedge b \neq 1$ : contradiction. Donc $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
4) Raisonnons par l'absurde en supposant que $b \neq 0$. De $a + b\sqrt{2} = 0$ on tire $b\sqrt{2} = -a$, donc $-\dfrac{a}{b} = \sqrt{2}$. Or $a$ et $b$ sont dans $\mathbb{Q}$, donc $-\dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}$, mais on sait que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ : contradiction. Donc $b = 0$, et puisque $a + b\sqrt{2} = 0$, alors $a = 0$.
Supposons maintenant $a + b\sqrt{2} = a' + b'\sqrt{2}$ ; alors $a - a' + \sqrt{2}(b - b') = 0$, et d'après ce qui précède $a - a' = 0$ et $b - b' = 0$, donc $a = a'$ et $b = b'$.
5) Raisonnons par l'absurde en supposant que pour tout $i \in A$, $x_i - i$ est impair. On a alors $S = (x_1 - 1) + (x_2 - 2) + \dots + (x_n - n)$ qui est un nombre entier impair, car c'est la somme d'un nombre impair de nombres impairs.
Or $S = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - (1 + 2 + \dots + n) = 0$, et 0 est pair : contradiction. Donc il existe $i \in A$ tel que $x_i - i$ est pair.
Si l'on veut montrer qu'une proposition du type $\forall x \in E : P(x)$ est vraie, alors pour chaque $x$ de $E$ il faut montrer que $P(x)$ est vraie. Par contre, pour montrer que cette proposition est fausse, il suffit de trouver $x \in E$ tel que $P(x)$ soit fausse : trouver un tel $x$, c'est trouver un contre-exemple à la proposition $\forall x \in E : P(x)$.
Montrer que chacune des propositions suivantes est fausse.
1) $P : (\forall x \in [0 ; 1]) : x^2 \geq x$
2) $P : (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 \geq x + y$
3) $P : \left(\forall (a ; b) \in \mathbb{R}^2\right) : \sqrt{a^2+b^2} = a + b$
4) « Tout entier positif est somme de trois carrés » (les carrés sont $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, \dots$ ; par exemple $6 = 1^2 + 1^2 + 2^2$)
5) $P : \left(\forall x \in \mathbb{R}^*\right) : x + \dfrac{1}{x} \geq 2$
6) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - x + 3$ : montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire.
7) $P : \forall (a ; b ; c ; d) \in \mathbb{R}^4 ; \begin{cases} a \neq b \\ c \neq d \end{cases} \Rightarrow a + c \neq b + d$
8) $P : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 - xy + y^2 = 0$
1) Sa négation est $\overline{P} : (\exists x \in [0 ; 1]) : x^2 < x$. En posant $x = \dfrac{1}{2}$ on a $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 < \dfrac{1}{2}$, donc $\overline{P}$ est vraie et $P$ est fausse.
2) Sa négation est $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 < x + y$. En posant $x = 1$ et $y = \dfrac{1}{2}$ on a $1^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 < 1 + \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{5}{4} < \dfrac{6}{4}$, donc $P$ est fausse.
3) Sa négation est $\overline{P} : \left(\exists (a ; b) \in \mathbb{R}^2\right) : \sqrt{a^2+b^2} \neq a + b$. En posant $a = 4$ et $b = 3$ on a $\sqrt{16+9} = 5$ et $a + b = 7$, donc $P$ est fausse.
4) Un contre-exemple : les carrés inférieurs à 7 sont 0, 1, 4, mais avec trois de ces nombres on ne peut pas faire 7.
5) Sa négation est $\overline{P} : \left(\exists x \in \mathbb{R}^*\right) : x + \dfrac{1}{x} < 2$. En posant $x = -1$ on a $-1 + \dfrac{1}{-1} = -2 < 2$, donc $P$ est fausse.
6) $f$ n'est pas paire si et seulement si $(\exists x \in \mathbb{R}) : f(-x) \neq f(x)$, et $f$ n'est pas impaire si et seulement si $(\exists x \in \mathbb{R}) : f(-x) \neq -f(x)$. On a $f(1) = 4$ et $f(-1) = 6$, donc $f(-1) \neq f(1)$ et $f(-1) \neq -f(1)$ : $f$ n'est ni paire ni impaire.
7) Sa négation est $\overline{P} : \exists (a ; b ; c ; d) \in \mathbb{R}^4 ; a \neq b$, $c \neq d$ et $a + c = b + d$. On a $2 \neq 3$, $1 \neq 0$ et $2 + 1 = 3 + 0$, donc $P$ est fausse.
8) Sa négation est $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 - xy + y^2 \neq 0$. En posant $x = 1$ on obtient $y^2 - y + 1$, dont le discriminant vaut $\Delta = (-1)^2 - 4 = -3 < 0$, donc $y^2 - y + 1 > 0$ et $y^2 - y + 1 \neq 0$. Donc $P$ est fausse.
Le raisonnement par équivalence repose sur le principe suivant : pour montrer que $P$ est vraie, on montre que « $P \Leftrightarrow Q$ » est vraie et que $Q$ est vraie, on en déduit alors que $P$ est vraie.
1) Montrer que $\forall x > 0$, $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$.
2) Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $|x-1| \leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{5} \leq \dfrac{1}{x+1} \leq \dfrac{2}{3}$.
3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : \sqrt{x^2+1} = 2x$.
4) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Montrer que $|x-y| \leq 2\sqrt{x^2+y^2+xy}$.
5) Montrer que $\left(\forall (a ; b) \in \left(\mathbb{R}^+\right)^2\right) : a + b = 0 \Leftrightarrow a = 0$ et $b = 0$ ; puis, pour $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$, que $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \Leftrightarrow x = y = 0$.
1) $x + \dfrac{1}{x} \geq 2 \iff \dfrac{x^2+1}{x} \geq 2 \iff \dfrac{x^2+1}{x} - 2 \geq 0 \iff \dfrac{x^2+1-2x}{x} \geq 0 \iff \dfrac{(x-1)^2}{x} \geq 0$. Et puisque $\dfrac{(x-1)^2}{x} \geq 0$ pour $x > 0$, on a bien $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$ pour tout $x > 0$.
2) $|x-1| \leq \dfrac{1}{2} \iff -\dfrac{1}{2} \leq x - 1 \leq \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{3}{2} \leq x + 1 \leq \dfrac{5}{2} \iff \dfrac{2}{5} \leq \dfrac{1}{x+1} \leq \dfrac{2}{3}$.
3) Méthode 1. $x \in S \Rightarrow \sqrt{x^2+1} = 2x \Rightarrow x^2 + 1 = 4x^2 \Rightarrow 3x^2 = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou $x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
On ne peut pas affirmer que ces deux valeurs sont solutions. En effet $\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 1} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \neq -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, donc $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \notin S$ ; et $\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 1} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, donc $\dfrac{\sqrt{3}}{3} \in S$.
Méthode 2. $x \in S \iff \sqrt{x^2+1} = 2x$ et $x \geq 0 \iff x^2 + 1 = 4x^2$ et $x \geq 0 \iff x^2 = \dfrac{1}{3}$ et $x \geq 0$, d'où $S = \left\{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\}$.
4) $|x-y| \leq 2\sqrt{x^2+y^2+xy} \iff |x-y|^2 \leq \left(2\sqrt{x^2+y^2+xy}\right)^2 \iff x^2 - 2xy + y^2 \leq 4x^2 + 4y^2 + 4xy$, soit $3x^2 + 3y^2 + 6xy \geq 0$, c'est-à-dire $3(x+y)^2 \geq 0$, ce qui est vrai. Donc $|x-y| \leq 2\sqrt{x^2+y^2+xy}$ pour tous $x$ et $y$ réels.
5) Sens direct : supposons $a + b = 0$ et ($a \neq 0$ ou $b \neq 0$) avec $(a ; b) \in \left(\mathbb{R}^+\right)^2$ ; alors $a + b > 0$, contradiction. Par suite $a = 0$ et $b = 0$. Réciproquement, si $a = 0$ et $b = 0$ alors $a + b = 0$.
Ensuite $\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \iff \left(\sqrt{x^2+1} - 1\right) + \left(\sqrt{y^2+1} - 1\right) = 0$, où $\sqrt{x^2+1} - 1 \geq 0$ et $\sqrt{y^2+1} - 1 \geq 0$. D'après ce qui précède, $\sqrt{x^2+1} = 1$ et $\sqrt{y^2+1} = 1$, donc $x^2 = 0$ et $y^2 = 0$, donc $x = y = 0$.
Le principe de récurrence permet de montrer qu'une proposition $P(n)$, dépendant de $n$, est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. La démonstration se déroule en trois étapes : l'initialisation, où l'on prouve que $P(0)$ est vraie ; l'hérédité, où l'on suppose $P(n)$ vraie pour un $n$ donné ; puis on démontre que la proposition $P(n+1)$ au rang suivant est vraie. Enfin, dans la conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Pour expliquer ce principe intuitivement, prenons la file de dominos : si l'on pousse le premier domino de la file (initialisation), et si les dominos sont posés l'un après l'autre de manière à ce que la chute d'un domino entraîne la chute de son suivant (hérédité), alors tous les dominos de la file tombent (conclusion).
1) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $3^n \geq 1 + 2n$.
2) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
3) Montrer que pour tout entier $n \geq 5$, $2^n \geq 6n$.
4) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $n^3 + 2n$ est divisible par 3.
5) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
6) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.
7) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$.
8) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $4^n + 6n - 1$ est divisible par 9.
9) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $7^n - 1$ est divisible par 6.
1) Initialisation : pour $n = 0$, $3^0 \geq 1 + 2 \times 0$, donc $1 \geq 1$ : $P(0)$ est vraie. Hérédité : supposons $3^n \geq 1 + 2n$ ; alors $3^n \times 3 \geq 3(1+2n)$, donc $3^{n+1} \geq 6n + 3$. Or $6n + 3 \geq 2n + 3$ (la différence vaut $4n \geq 0$), donc $3^{n+1} \geq 2n + 3 = 1 + 2(n+1)$. Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N}$, $3^n \geq 1 + 2n$.
2) Initialisation : pour $n = 1$, $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ : $P(1)$ est vraie. Hérédité : supposons $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ; alors :
$$1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
3) Initialisation : pour $n = 5$, $2^5 = 32$ et $6 \times 5 = 30$, donc $2^5 \geq 6 \times 5$. Hérédité : supposons $2^n \geq 6n$ ; alors $2^n \times 2 \geq 12n$, donc $2^{n+1} \geq 12n$. Or $12n \geq 6(n+1)$, car $12n - 6(n+1) = 6n - 6 \geq 24 > 0$ pour $n \geq 5$. Conclusion : pour tout $n \geq 5$, $2^n \geq 6n$.
4) Montrons qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n^3 + 2n = 3k$. Initialisation : pour $n = 0$, $0^3 + 2 \times 0 = 0$ est un multiple de 3. Hérédité : supposons $n^3 + 2n = 3k$ ; alors :
$$(n+1)^3 + 2(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 = \left(n^3 + 2n\right) + 3n^2 + 3n + 3 = 3\left(k + n^2 + n + 1\right)$$Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N}$, $n^3 + 2n$ est divisible par 3.
5) Initialisation : pour $n = 1$, $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1 = 1^2$. Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$ ; alors :
$$\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = (n+1)\,\frac{n(2n+1) + 6(n+1)}{6} = (n+1)\,\frac{2n^2+7n+6}{6}$$et comme $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$, on obtient $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.
6) Initialisation : pour $n = 1$, $\dfrac{1^2 \times 2^2}{4} = 1$. Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$ ; alors :
$$\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = (n+1)^2\left(\frac{n^2}{4} + n + 1\right) = (n+1)^2\,\frac{n^2+4n+4}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$7) Initialisation : pour $n = 1$, $1 + 3 = 4$ et $(1+1)^2 = 4$. Hérédité : supposons $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1) = (n+1)^2$ ; alors :
$$\sum_{k=1}^{n+1}(2k+1) = (n+1)^2 + (2n+3) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2$$8) Montrons qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $4^n + 6n - 1 = 9k$. Initialisation : pour $n = 0$, $4^0 + 0 - 1 = 0$ est un multiple de 9. Hérédité : supposons $4^n + 6n - 1 = 9k$, donc $4^n = 9k - 6n + 1$ ; alors :
$$4^{n+1} + 6(n+1) - 1 = 4 \times 4^n + 6n + 5 = 4(9k - 6n + 1) + 6n + 5 = 36k + 9 - 18n = 9(4k + 1 - 2n)$$9) Montrons qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $7^n - 1 = 6k$. Initialisation : pour $n = 0$, $7^0 - 1 = 0$ est un multiple de 6. Hérédité : supposons $7^n - 1 = 6k$ ; alors :
$$7^{n+1} - 1 = 7 \times 7^n - 1 = 7\left(6k + 1\right) - 1 = 42k + 6 = 6(7k + 1)$$Conclusion : $\forall n \in \mathbb{N}$, $7^n - 1$ est divisible par 6.
La rédaction d'une récurrence est assez rigide. Respectez scrupuleusement la rédaction proposée : donnez un nom à la proposition que vous souhaitez montrer (ici $P(n)$) et respectez les trois étapes, même si souvent l'étape d'initialisation est très facile.
Soient $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $a \in \,]-1 ; 1[$ et $b \in \,]-1 ; 1[$. Montrer que $-1 < \dfrac{a+b}{1+ab} < 1$.
$-1 < \dfrac{a+b}{1+ab} < 1 \iff \left|\dfrac{a+b}{1+ab}\right| < 1 \iff |a+b| < |1+ab|$, donc $|a+b|^2 < |1+ab|^2$, soit $a^2 + b^2 + 2ab < 1 + a^2b^2 + 2ab$.
Donc $-1 < \dfrac{a+b}{1+ab} < 1 \iff \left(a^2-1\right)\left(1-b^2\right) < 0$.
Or $a \in \,]-1 ; 1[$ et $b \in \,]-1 ; 1[$ donnent $|a| < 1$ et $|b| < 1$, donc $a^2 < 1$ et $b^2 < 1$, donc $a^2 - 1 < 0$ et $1 - b^2 > 0$, d'où $\left(a^2-1\right)\left(1-b^2\right) < 0$.
Donc $a \in \,]-1 ; 1[$ et $b \in \,]-1 ; 1[$ impliquent $-1 < \dfrac{a+b}{1+ab} < 1$.
Traduire les propositions suivantes en langage courant, puis déterminer leur négation et leur valeur de vérité.
1) $P : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (\exists y \in \mathbb{R}) : x > y$
2) $P : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (\forall y \in \mathbb{R}) : x > y$
3) $P : (\forall x \in \mathbb{R}) ; x^2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$
4) $P : (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 = 4$
5) $P : (\forall \varepsilon > 0) ; \left(\exists x \in \left\{1 + \dfrac{1}{n} ; n \in \mathbb{N}^*\right\}\right) / x < \varepsilon + 10$
1) Pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, il existe au moins un $y$ appartenant à $\mathbb{R}$ tel que $x$ est strictement supérieur à $y$. Sa négation est $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (\forall y \in \mathbb{R}) : x \leq y$. $P$ est vraie : lorsque je prends $x$, je peux trouver $y$, il suffit de prendre $y = x - 1$.
2) Il existe au moins un $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ tel que, pour tout $y$ appartenant à $\mathbb{R}$, $x$ est strictement supérieur à $y$. Sa négation est $\overline{P} : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (\exists y \in \mathbb{R}) : x \leq y$. $P$ est fausse : lorsque je prends $x$, je peux toujours donner à $y$ la valeur $y = x + 1$.
3) Pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$, si $x^2$ est supérieur ou égal à 4 alors $x$ est supérieur ou égal à 2. Sa négation est $\overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 \geq 4$ et $x < 2$. $P$ est fausse : lorsque je prends $x = -2$, on a $(-2)^2 \geq 4$ et $-2 < 2$.
4) Il existe au moins un $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ tel que $x^2$ est égal à 4. Sa négation est $\overline{P} : (\forall x \in \mathbb{R}) ; x^2 \neq 4$. $P$ est vraie : il suffit de prendre $x = 2$.
5) Pour tout $\varepsilon$ strictement supérieur à 0, il existe au moins un $x$ qui s'écrit sous la forme $1 + \dfrac{1}{n}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$, tel que $x$ est strictement inférieur à $\varepsilon + 10$. Sa négation est $\overline{P} : (\exists \varepsilon > 0) ; \left(\forall x \in \left\{1 + \dfrac{1}{n} ; n \in \mathbb{N}^*\right\}\right) / x \geq \varepsilon + 10$.
Soit $\varepsilon > 0$ : $x < \varepsilon + 10 \iff 1 + \dfrac{1}{n} < \varepsilon + 10 \iff \dfrac{1}{n} < \varepsilon + 9 \iff n > \dfrac{1}{\varepsilon + 9}$. Donc pour $n = E\left(\dfrac{1}{\varepsilon+9}\right) + 1$ on prend $x = 1 + \dfrac{1}{n}$ et on a $x < \varepsilon + 10$. $P$ est donc une proposition vraie.
À l'aide de la méthode des tables de vérité, dire si la formule $P$ ou $\overline{P}$ est une tautologie.
| $P$ | $\overline{P}$ | $P$ ou $\overline{P}$ |
|---|---|---|
| F | V | V |
| V | F | V |
La colonne de $P$ ou $\overline{P}$ ne contient que des V : la formule est toujours vraie, c'est donc une tautologie.
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