Soit dans $\mathbb{C}$ l'équation :
$(E_\theta) : z^2 - 2i(1-e^{i\theta})z + 3(1-e^{i\theta})^2 = 0 \quad ; \quad \theta \in [0,\pi]$
Sans calculer $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation $(E_\theta)$, montrer que :
$\arg(z_1+z_2) \equiv \dfrac{\theta}{2}\ [2\pi]$ et $\arg(z_1)+\arg(z_2) \equiv \theta - \pi\ [2\pi]$
Voir la correction
Calcul de $\arg(z_1+z_2)$
$$\begin{aligned}\arg(z_1+z_2) &\equiv \arg\left(2i(1-e^{i\theta})\right)\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[i(1-e^{i\theta})\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[i e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[-i e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[-i e^{i\frac{\theta}{2}}\left(2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[-i^2 e^{i\frac{\theta}{2}}\left(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[e^{i\frac{\theta}{2}}\left(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left(e^{i\frac{\theta}{2}}\right)+\arg\left[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\ [2\pi]\end{aligned}$$
or $0 \le \theta \le \pi \Rightarrow 0 \le \dfrac{\theta}{2} \le \dfrac{\pi}{2}$ donc $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$ ainsi $\arg\left[\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right] \equiv 0\ [2\pi]$
Conclusion
$\arg(z_1+z_2) \equiv \dfrac{\theta}{2}\ [2\pi]$
Calcul de $\arg(z_1)+\arg(z_2)$
$$\begin{aligned}\arg(z_1)+\arg(z_2) &\equiv \arg(z_1z_2)\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[3(1-e^{i\theta})^2\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[(1-e^{i\theta})^2\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right)\right]^2\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[-e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right]^2\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right]^2\ [2\pi]\\ &\equiv \arg\left[e^{i\theta}\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)^2\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \arg(e^{i\theta})+\arg\left[\left(2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \theta+\arg\left[-4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\ [2\pi]\\ &\equiv \theta+\pi\ [2\pi]\quad\text{car }-4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)<0\\ &\equiv \theta-\pi\ [2\pi]\end{aligned}$$
Conclusion
$\arg(z_1)+\arg(z_2) \equiv \theta-\pi\ [2\pi]$