Soit $(U_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $U_0 = \dfrac{3}{2}$ et $U_{n+1} = \dfrac{U_n}{\sqrt{1+U_n}}$ ; $n \in \mathbb{N}$.
1) a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 0$.
b) Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante.
c) En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
2) Soit $(V_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $V_0 = 1$ et $V_{n+1} = \dfrac{V_n}{U_n}$ ; $n \in \mathbb{N}$
on suppose que $V_n > 0$
a) Montrer que pour tout $n \geq 1$ ; $V_{n+1} \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_n$.
b) En déduire par récurrence que pour tout $n \geq 1$ ; $V_n \geq \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n-1}$
puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} V_n$
3) Soit la suite $(S_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par : $S_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}}$ ; $n \geq 1$
a) Montrer que $\forall n \geq 1$ on a : $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{45}{2}\left(1 - \left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right)$
b) En déduire que la suite $(S_n)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
Voir la correction
1) a)
$U_0 = \dfrac{3}{2}$ et $U_{n+1} = \dfrac{U_n}{\sqrt{1+U_n}}$ ; $n \in \mathbb{N}$.
pour $n = 0$ on a : $U_0 = \dfrac{3}{2}$ alors $U_0 > 0$ vrai
Soit $n \in \mathbb{N}$ supposons que $U_n > 0$ et montrons que $U_{n+1} > 0$
on na : $U_n > 0$ et $\sqrt{1+U_n} > 0$ alors $U_{n+1} > 0$
conclusion pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 0$.
1) b)
on a $\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n+1} - U_n = \dfrac{U_n}{\sqrt{1+U_n}} - U_n$
$$\begin{aligned} &= U_n\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+U_n}} - 1\right) = U_n\left(\dfrac{1-\sqrt{1+U_n}}{\sqrt{1+U_n}}\right) = U_n\left(\dfrac{-U_n}{\sqrt{1+U_n}\left(1+\sqrt{1+U_n}\right)}\right) \\ &= \dfrac{-U_n^{\,2}}{\sqrt{1+U_n}\left(1+\sqrt{1+U_n}\right)} < 0 \end{aligned}$$
par suite $\forall n \in \mathbb{N}$ : $U_{n+1} - U_n < 0 \Rightarrow U_{n+1} < U_n$ alors la suite $(U_n)$ est décroissante.
1) c)
La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par $0$ alors la suite $(U_n)$ est convergente et converge vers un réel $l$
Soit la fonction $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x}}$ continue sur $]-1, +\infty[$
$\lim_{n \to +\infty} U_n = l$ avec $l > 0$ $f$ est continue en $l$
$U_{n+1} = f(U_n)$ alors $f(l) = l$ $\Leftrightarrow \dfrac{l}{\sqrt{1+l}} = l \Rightarrow \dfrac{l^2}{1+l} = l^2 \Leftrightarrow l^2\left(\dfrac{1}{1+l} - 1\right) = 0$
$\Leftrightarrow l = 0$ ou $\dfrac{1}{1+l} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow$ $l = 0$ ou $1 + l = 1 \Leftrightarrow l = 0$ ou $l = 0$
alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$
2) a)
On a : $V_{n+1} = \dfrac{V_n}{U_n} = \dfrac{1}{U_n} \times V_n$
on a $U_1 = \dfrac{U_0}{\sqrt{1+U_0}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{\sqrt{1+\frac{3}{2}}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$
$\forall n \geq 1$ on a $0 < U_n \leq U_1$ ( car la suite $(U_n)$ est décroissante ) $\Rightarrow 0 < U_n \leq \dfrac{3}{\sqrt{10}} \Rightarrow$
$\dfrac{1}{U_n} \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{U_n} \times V_n \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_n$ car $V_n > 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{V_n}{U_n} \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_n \Rightarrow V_{n+1} \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_n$
2) b)
on a : $\forall n \geq 1$ ; $V_{n+1} \geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_n$
$$\begin{aligned} V_2 &\geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_1 \\ V_3 &\geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_2 \\ V_4 &\geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_3 \\ &\ \ \vdots \\ V_n &\geq \dfrac{\sqrt{10}}{3} V_{n-1} \end{aligned}$$
en multipliant les $(n+1)$ inégalités membre à membre on obtient
$V_n \geq \left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n+1} V_1$ or $V_1 = \dfrac{V_0}{U_0} = \dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$ alors pour tout $n \geq 1$ $V_n \geq \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n-1}$
on a $V_n \geq \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n-1}$
$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{n-1} = +\infty$ car $\dfrac{\sqrt{10}}{3} > 1$
alors $\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty$
3) a)
$S_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}}$ ; $n \geq 1$
on a pour $1 \leq k \leq n$ et $n \geq 1$
$V_k \geq \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{k-1} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k} \leq \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{k-1} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{k-1}\right]^2 \Rightarrow$
$\dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2k-2} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2k}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{-2} \Rightarrow$
$\dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2k}\left(\dfrac{\sqrt{10}}{3}\right)^{2} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2k} \times \dfrac{10}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2k} \Rightarrow$
$\dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left[\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}\right]^{k} \Rightarrow \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2} \times \left(\dfrac{9}{10}\right)^{k}$
$k = 1$ $\quad$ $\dfrac{1}{V_1^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{1}$
$k = 2$ $\quad$ $\dfrac{1}{V_2^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{2}$
$k = 3$ $\quad$ $\dfrac{1}{V_3^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{3}$
$\vdots$
$k = n$ $\quad$ $\dfrac{1}{V_n^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n}$
en additionnant les $n$ inégalités membre à membre on obtient
$\dfrac{1}{V_1^{\,2}} + \dfrac{1}{V_2^{\,2}} + \dfrac{1}{V_3^{\,2}} + \cdots + \dfrac{1}{V_n^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\left(\dfrac{9}{10}\right)^{1} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{2} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{3} + \cdots + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{n}\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2}\left(\left(\dfrac{9}{10}\right)^{1} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{2} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{3} + \cdots + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{n}\right)$
soit la suite $W_n = \left(\dfrac{9}{10}\right)^{1} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{2} + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{3} + \cdots + \left(\dfrac{9}{10}\right)^{n}$
on remarque bien que $W_n$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $\dfrac{9}{10}$ et de raison $\dfrac{9}{10}$
alors
$$\begin{aligned} W_n &= \dfrac{9}{10}\left(\dfrac{1-\left(\frac{9}{10}\right)^n}{1-\frac{9}{10}}\right) \\ &= \dfrac{9}{10} \times 10\left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right) \\ &= 9 \times \left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right) \end{aligned}$$
par suite
$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{5}{2} \times 9 \times \left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right) \Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{45}{2}\left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right)$
3) b)
on $S_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}}$ et $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{V_k^{\,2}} \leq \dfrac{45}{2}\left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right) \Rightarrow S_n \leq \dfrac{\frac{45}{2}\left(1-\left(\frac{9}{10}\right)^n\right)}{n} \Rightarrow$
$0 < S_n \leq \dfrac{45}{2n}\left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right)$
$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{45}{2n}\left(1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\right) = 0$
alors $\lim_{n \to +\infty} S_n = 0$
alors la suite $(S_n)$ est convergente et converge vers $0$