Fonctions trigonométriques - devoir en ligne

Problème

Soit $f$ définie par $f(x) = { \cos^2x\over 2\cos x-1}$
$\quad$ $➀$ Déterminer le domaine de définition de $f$.
$\quad$ $➁$ Démontrer qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $D_E = [0, \pi]\backslash\{{\pi \over 3}\}$
$\quad$ $➂$ Montrer que $\; \forall x\in D_f\;:\; f^\prime (x) = {\sin 2x(1-\cos x)\over (2\cos x - 1)^2}$.
$\quad$ $➃$ Etudier le signe de $f^\prime (x)$.
$\quad$ $➄$ a) Etudier le signe de $g (x)=2\cos x - 1$ sur l'intervalle $]0, {\pi \over 2}[.$
$\quad$ $\;\;\;$ b) En déduire les limites : $$\displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^+}f(x) \;\text{ et }\; \displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^-}f(x)$$ $\quad$ $\;\;\;$ c) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
$\quad$ $➅$ Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $D_E$
$\quad$ $➆$ Construire la courbe $(\mathcal C_f)$ pour $x\in D_E.$
$\quad$ $➇$ Compléter $(\mathcal C_f)$ sur $[-\pi,0].$

Solutions

$1.$ $f$ est définie lorsque : $\; 2\cos x - 1\neq 0 \; \iff \; \cos x \neq {1\over 2}$ $$\text{ On a } : \cos x = {1\over 2 } \;\iff \; \cos x = \cos {\pi\over 3} \; \iff \; \begin{cases} x={\pi\over 3}+2k\pi \\[2ex] \text{ ou }\\[2ex] x = -{\pi\over 3}+2k\pi \end{cases} $$ $\;\;\;$ Donc $D_f = \mathbb R \backslash \{±{\pi\over 3} + 2k\pi\;\; , k\in \mathbb Z\}.$
$2.$ On $f$ une fonction périodique de période $2\pi$. Il suffit alors d'étudier $f$ sur un intervalle de longueur $2\pi$ par exemple sur $I = [-\pi, \pi] \backslash \{±{\pi\over 3}\}.$
Or $f$ est une fontion paire car $$ \begin{cases} \forall x\in I,\; -x \in I \\[2ex] \text{ et }\\[2ex] \cos (-x) = \cos x \;\text{ donc }\; f(-x) = f(x) \end{cases} $$ Le domaine d'étude se réduit donc à $[0, \pi]\backslash\{{\pi \over 3}\}.$
Enfin : $f(\pi -x ) = { \cos^2x\over -2\cos x-1} \neq ±f(x)$. Donc $(\mathcal C_f )$ n'admet ni axe ni centre de symétrie sur $[0, \pi]$.
Par conséquent lme domaine d'étude reste donc $=D_E=[0, \pi]\backslash\{{\pi \over 3}\}.$
$3.$ \begin{align} \forall x\in D_f\;\;, f^\prime(x) & = {(2\cos x -1)2\cos x(-\sin x)-\cos^2x(-2\sin x)\over (2\cos x -1)^2}\\[4ex] & = {(2\cos x -1)(-\sin 2x) + \sin 2x \cos x \over (2\cos x -1)^2}\\[4ex] & = {\sin 2x(-2\cos x+1+\cos x) \over (2\cos x -1)^2}\\[4ex] & = {\sin 2x(1-\cos x) \over (2\cos x -1)^2}\\[4ex] \end{align} $4.$ $f^\prime (x)$ a le signe de $\sin 2x(1-\cos x)$. On a donc: \begin{array}{l|lclclcr} x & 0 && {\pi\over 3} && {\pi\over 2} && \pi \\[2ex] \hline \sin 2x & 0 &+& &+& 0& -&0 \\[2ex] \hline 1-\cos x & 0 &+& &+&&+&\\[2ex] \hline f^\prime (x) & 0 &+&\parallel &+&0&-&0\\[2ex] \end{array} $5.$
a) $g(x) = 2(\cos x-{1\over 2})$ a le signe de $\cos x-{1\over 2}.$
On a : $\cos x - {1\over 2 } = 0 \;\iff \; \cos x = {1\over 2 } = \cos {\pi\over 3}.$ D'où: \begin{array}{l|clcl} x & 0 && {\pi\over 3 } && {\pi\over 2 }\\[2ex] \hline \cos x - {1\over 2 } & &+&0&-&\\[2ex] \hline g(x) & &+&0&-&\\[2ex] \end{array} b)
$\displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^-}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^-}{\cos^2x\over g(x)} = +\infty$ $,\quad$ car $ \displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^-}g(x) = 0^+$ et $\cos^2({\pi\over 3})\gt 0 $

$\displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^+}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^+}{\cos^2x\over g(x)}$ $,\quad$ car $ \displaystyle \lim_{x \to {\pi\over 3}^+}g(x) = 0^-$ et $\cos^2({\pi\over 3})\gt 0 $
c)
Interprétation géométrique : la droite d'équation $x={\pi\over 3}$ est asymptote à $(\mathcal C_f)$ par valeurs inférieures et par valeurs supérieures.
$6.$ \begin{array}{c|ccrclcc} x & 0 & & &{\pi\over 3} & & &{\pi\over 2} && \pi \\ \hline f^\prime(x) & & +&& \parallel &+&&0&-&0 \\ \hline & &&+\infty& \parallel & && 0 & & \\ f(x) & & \nearrow && \parallel & &\nearrow &&\searrow& \\ & 1& & & \parallel &-\infty &&&&-{1\over 3} \\ \end{array} $7.$ à suivre