Les suites de nombres réels

$\color{red}{\text{Suites arithmétique}}$

Soit $I$ une partie de $\mathbb{N}$, et $(u_n)_{n\in I}$ une suite de nombres réels.
Alors $(u_n)_{n\in I}$ est dite arithmétique si, et seulement si, il existe $r\in \mathbb{R}^*$ tel que: $$ \forall n \in I: u_{n+1} = u_n + r.$$ $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique $(u_n)_{n\in I}$. Et dans ce cas on a les formules suivantes:
$$r=u_{n+1} - u_n = u_n - u_{n-1} = \cdots = u_1-u_0$$ $\phantom{3}$ $$u_n = u_0 + nr = u_1 + (n-1)r = up + (n-p)r \text{ avec } p\leq n.$$ $$u_0+u_1+u_2+\cdots +u_n = (n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$ $$u_{n+1}+u_{n-1} = 2u_{n}$$
Si trois nombres réels $a, b$ et $c$ forment une progression arithmétique alors $a+c=2b.$

$\color{red}{\text{Suites géométrique}}$

Soit $I$ une partie de $\mathbb{N}$, et $(u_n)_{n\in I}$ une suite de nombres réels.
Alors $(u_n)_{n\in I}$ est dite géométrique si, et seulement si, il existe $q\in \mathbb{R}^*-\{1\}$ tel que: $$ \forall n \in I: u_{n+1} = qu_n.$$ $q$ est appelé la raison de la suite géométrique $(u_n)_{n\in I}$. Et dans ce cas on a les formules suivantes: $$q=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}} = \cdots = \dfrac{u_{1}}{u_{0}}$$ $$u_n = u_0 \times q^n =u_1 \times q^{n-1}= u_p \times q^{n-p} \text{ avec } p\leq n.$$ $$u_0+u_1+u_2+\cdots +u_n = u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ $$u_{n+1}\times u_{n-1} = u_{n}^2$$
Si trois nombres réels $a, b$ et $c$ forment une progression géométrique alors $ac=b^2.$

$\pmb{\color{green}{\text{Remarque:}}}$

Les suites géométriques de nombres complexes se définissent comme les suites géométriques de nombres réels, avec $u_n \in \mathbb{C}$ et $q\in \mathbb{C}.$

$\color{red}{\text{Propriétés:}}$

Soit $(u_n)_{n\in I}$ une suite de. nombres réels. On a les équivalences suivantes: \begin{array}{c} (u_n)_{n\in I} \text{ est majorée si, et seulement si, } \exists \alpha \in \mathbb{R}, \; \forall n \in I:\; u_n\leq \alpha.\\ \\ (u_n)_{n\in I} \text{ est minorée si, et seulement si, } \exists \beta \in \mathbb{R}, \; \forall n \in I:\; u_n\geq \beta.\\ \\ (u_n)_{n\in I} \text{ est bornée si, et seulement si, elle est majorée et bornée, c-à-d }\\ \exists \alpha \text{ et } \beta \in \mathbb{R}, \; \text{ tel que } \forall n \in I:\; \beta \leq u_n\leq \alpha.\\ \\ (u_n)_{n\in I} \text{ est stationnaire si, et seulement si, } \exists p \in I: u_n=u_p \text{ pour tout } n\geq p.\\ \\ (u_n)_{n\in I} \text{ est convergente si, et seulement si, } \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n = l\in \mathbb{R}. \\ \end{array}

$\color{red}{\text{Etude de la suite $(a^n)$, avec $a\in \mathbb{R}^*.$: }}$

\begin{array}{l} \text{ Si } a \in ]1, +\infty[ \text{ alors } \displaystyle \lim_{n\to +\infty}a^n = +\infty. \\ \\ \text{ Si } a \in ]-1, 1[ \text{ alors } \displaystyle \lim_{n\to +\infty}a^n = 0. \\ \\ \text{ Si } a =1 \text{ alors la suite} (a^n) \text{ est une suite constante et prend la valeur } 1. \\ \\ \text{ Si } a =-1 \text{ alors la suite} (a^n) \text{ est une suite alternée et prend la valeur 1 ou} -1 . \\ \\ \text{ Si } a \in ]-\infty, -1[ \text{ alors } a^n = (-1)^n\times (-a)^n , \text{et on a } -a \gt 1,\\ \text{ donc la suite n'a pas de limite.} \\ \end{array} $ \bbox[yellow,5px] { \text{ conclusion: } (a^n) \text{ converge si, et seulement si,} a \in ]-1, 1[ } $

$\pmb{\color{green}{\text{Exercice 1:}}}$

Déterminer la raison $r$ et le terme $u_3$ d'une suite arithmétique $(u_n)$ dans chacun des cas suivantes: \begin{array}{l} \; a)\; u_0 = 4 \text{ et } u_{24} = 100. \\ \\ \; b)\; u_0 = 4 \text{ , } u_{n} = 38 \text{ et } . S_n = u_1+u_2+\cdots +u_n = 260.\\ \\ \; c)\; u_0 = 2 \text{ et } \dfrac{u_9}{u_4} = 2.\\ \\ \; d)\; u_0 = 1, u_1^2+u_3^2 = 20 \text{ et } (u_{n}) \text{ croissante }.\\ \\ \; e)\; u_0 +u_1= 2,u_0 u_1 = -8 \text{ et } (u_{n}) \text{ décroissante }. \end{array}