Le chapitre Calcul vectoriel dans le plan en tronc commun scientifique : vecteurs et vecteurs égaux, relation de Chasles, règle du parallélogramme, multiplication par un réel, colinéarité et points alignés, milieu d'un segment, avec des applications corrigées et des figures.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan $(P)$.
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par trois données :
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
Soient $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ des points du plan $(P)$ tels que $A \neq B$ et $C \neq D$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ssi $ABDC$ est un parallélogramme.
Soient $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ des points du plan $(P)$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ssi $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$.
Étant donné un point $A$ et un vecteur $\vec{u}$, il existe un point $M$ unique tel que $\vec{u} = \overrightarrow{AM}$.
Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan. On a la relation suivante :
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$
Cette relation de Chasles s'utilise de trois manières différentes :
On considère les vecteurs :
$$\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}$$
$$\begin{aligned} \vec{V} &= \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF}\\ &\quad + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA} \end{aligned}$$
Simplifier les vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$.
Solution
$$\begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{AB}\\ &= \vec{0} + \overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{AB} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \vec{V} &= \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF}\\ &\quad + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA}\\ &= \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA}\\ &\quad + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF}\\ &= \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{EF}\\ &= \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{EF}\\ &= \vec{0} + \overrightarrow{EF}\\ &= \overrightarrow{EF} \end{aligned}$$
Soient $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ des points du plan $(P)$.
1) Construire les points $M$ et $N$ tels que : $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$.
2) Comparer les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{MN}$.
1)
2)
$$\begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\\ &= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\\ &= -\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}\\ &= -\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} \end{aligned}$$
Donc : $\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$.
Soient les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan et $A$ un point du plan.
Il existe un point $B$ unique tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et il existe un point $C$ unique tel que $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$.
La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ tel que $ABDC$ est un parallélogramme.
Soient $A$, $B$, $C$ trois points du plan non alignés et on considère $D$ et $E$ du plan tels que : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} = \vec{0}$.
1) Faire un schéma.
2) Quelle est la nature du quadrilatère $EACB$ ? Justifier votre réponse.
1) On a : $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} = \vec{0}$ donc $\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD}$.
2) On a : $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AE}$,
donc $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EA}$.
Donc le quadrilatère $EACB$ est un parallélogramme.
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs du plan et $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, $E$ des points du plan tels que : $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ et $\vec{w} = \overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OD} = \vec{u} + \vec{v}$ et $\overrightarrow{OE} = \vec{v} + \vec{w}$.
1) Faire une figure.
2) Montrer que $ADEC$ est un parallélogramme et justifier votre réponse.
1)
2) On a :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}\\ &= \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\\ &= \overrightarrow{OB} \end{aligned}$$
donc ① $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OB}$.
Et on a :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OE}\\ &= \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\\ &= \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB}\\ &= \overrightarrow{OB} \end{aligned}$$
donc ② $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{OB}$.
D'après ① et ② on a : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CE}$.
Donc : $ADEC$ est un parallélogramme.
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
La différence de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égale à la somme de $\vec{u}$ et $(-\vec{v})$.
On écrit : $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
Soit $ABCD$ un parallélogramme ; on pose : $\overrightarrow{AB} = \vec{i}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{j}$.
Écrire les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
$ABCD$ est un parallélogramme donc : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
alors $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i}$.
Donc : $\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}$.
On a :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}\\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\\ &= -\vec{i} + \vec{j} - \vec{i} \end{aligned}$$
Donc : $\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}$.
Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre non nul. On appelle produit du vecteur $\vec{u}$ par le nombre $k$ le vecteur $k \cdot \vec{u}$ ayant les caractéristiques suivantes :
$k \cdot \vec{u}$ et $\vec{u}$ ont même direction, même sens si $k > 0$ et de sens contraire si $k < 0$, et $\|k \cdot \vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$.
Quels que soient les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les nombres $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$ :
1) $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
2) $(a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$
3) $a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}$
4) $1\vec{u} = \vec{u}$
5) $a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}$
6) $(a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}$
Soient les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Simplifier l'écriture des vecteurs suivants :
$$\overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right)$$
$$\begin{aligned}\overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v})\\ &\quad + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right)\\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v}\\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v}\\ &= \vec{0} + 6\vec{v}\\ &= 6\vec{v} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v})\\ &\quad + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u}\\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u}\\ &= 2\vec{u} + \vec{0} - 2\vec{u}\\ &= \vec{0} + \vec{0}\\ &= \vec{0} \end{aligned}$$
Soit $ABC$ un triangle ; on pose : $\overrightarrow{AB} = \vec{i}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{j}$.
Construire le vecteur $3\vec{i} - 2\vec{j}$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe une constante $k \in \mathbb{R}$ telle que $\vec{u} = k\vec{v}$.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires ssi ils ont la même direction.
1) Trois points $A$, $B$ et $C$ du plan sont alignés si et seulement s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$.
2) Soit $(AB)$ une droite. Alors $M \in (AB)$ ssi $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
3) Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Soit $ABC$ un triangle. Les points $E$ et $F$ sont tels que : $\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.
1) Faire une figure.
2) Montrer que : les points $E$, $F$ et $B$ sont alignés.
1)
2) On a : $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{CE}$,
donc $\overrightarrow{BA} = 4\overrightarrow{EC}$.
$$\begin{aligned} \overrightarrow{BF} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}\\ &= 4\overrightarrow{EC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\\ &= 4\left(\overrightarrow{EC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right) \end{aligned}$$
Or on a : $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ car : $\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$ donc
$$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$$
c'est-à-dire $\overrightarrow{CF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Alors : $\overrightarrow{BF} = 4\left(\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CF}\right)$ donc $\overrightarrow{BF} = 4\overrightarrow{EF}$.
Donc $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires.
D'où les points $E$, $F$ et $B$ sont alignés.
Soit $ABC$ un triangle. Les points $E$ et $F$ sont tels que : $\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.
1) Faire une figure.
2) Écrire les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
3) Montrer que les deux droites $(EC)$ et $(BF)$ sont parallèles.
1)
2) On a : $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC}$ donc $\overrightarrow{EC} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC}$.
D'où $\overrightarrow{EC} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
Et on a : $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}$ donc $\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.
3) On a : $\overrightarrow{EC} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ donc
$$\overrightarrow{EC} = \frac{3}{4}\left(-\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\right)$$
Donc $\overrightarrow{EC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BF}$.
D'où les droites $(EC)$ et $(BF)$ sont parallèles.
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes :
1) $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
2) $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$
3) $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
4) $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan.
$I$ est le milieu du segment $[AB]$ ssi pour tout point $M$ on a :
$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$$
Supposons que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ donc :
$$\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\\ &\quad + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\\ &= 2\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\\ &= 2\overrightarrow{MI} + \vec{0}\\ &= 2\overrightarrow{MI} \end{aligned}$$
Supposons que pour tout point $M$ on a : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$.
On prend $M = I$ donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{II} = \vec{0}$.
D'où $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
Soit $ABC$ un triangle. Les points $E$ et $F$ sont tels que : $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$.
1) Faire une figure.
2) Montrer que : $C$ est le milieu du segment $[EF]$.
1)
2) On a : $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ donc ① $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA}$.
Et on a : $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ donc $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ donc ② $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB}$.
$$\begin{aligned} \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{BB}\\ &= \vec{0} \end{aligned}$$
Donc : $C$ est le milieu du segment $[EF]$.
Un exercice de ce chapitre vous bloque ? Solutions pas à pas.