Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ en tronc commun scientifique : inclusions, règles de calcul dans ℝ, racine carrée, puissances, écriture scientifique et identités remarquables, avec des exercices corrigés.
Il existe différentes sortes de nombres. Pour les classer, on les a regroupés dans différents ensembles remarquables.
Rappel de notations : $\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; \dots ; n ; \dots\}$ et $\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ ($\mathbb{N}$ privé de $0$).
Tous les entiers, qu'ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs.
Exemple : $-45$, $-1$, $0$ et $56$ sont des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb{Z}$. Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l'ensemble $\mathbb{N}$ est inclus dans l'ensemble $\mathbb{Z}$. Cette inclusion est notée : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. Le symbole « $\subset$ » signifie « est inclus dans ».
Notations : $\mathbb{Z} = \{\dots ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots\}$
$\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ ($\mathbb{Z}$ privé de $0$).
L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres dits « à virgule ». Cet ensemble est noté $\mathbb{D}$.
Par exemple, $-3{,}89$ et $5{,}2$ sont des décimaux. Ils peuvent être négatifs ou positifs.
Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet : $-4 = -4{,}000$.
On dit alors que l'ensemble $\mathbb{Z}$ est inclus dans l'ensemble $\mathbb{D}$, ce qui se note : $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.
Donc on a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.
Écriture en compréhension :
$$\begin{aligned}\mathbb{D} = \Big\{ &a \times 10^{-n} = \frac{a}{10^n}\\ &/\; a \in \mathbb{Z} ; n \in \mathbb{N} \Big\}\end{aligned}$$
Pour savoir si un nombre rationnel est décimal ou pas, on peut mettre ce nombre sous la forme d'une fraction irréductible ; si le dénominateur est de la forme $2^p \times 5^q$, $p$ et $q$ étant des entiers naturels, alors ce nombre est décimal, sinon il ne l'est pas.
Les nombres $\dfrac{54}{40}$, $\dfrac{126}{450}$ et $\dfrac{75}{90}$ sont-ils des décimaux ?
Les nombres rationnels sont les fractions de la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers (non nul pour $q$).
Par exemple, $\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{1}{7}$ sont des rationnels.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels, exemple $1{,}59$. C'est en fait le quotient des entiers $159$ et $100$ car $159 / 100 = 1{,}59$.
De même, tous les entiers sont des rationnels. Prenons l'exemple de $-4$. On peut dire que $-4$ est le quotient de $-4$ et de $1$ car $-4 / 1 = -4$.
On résume cela par : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.
Écriture en compréhension :
$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;/\; a \in \mathbb{Z} ; b \in \mathbb{N}^* \right\}$$
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333333\dots$ est rationnel mais $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Un rationnel non décimal a une écriture décimale périodique infinie :
$\dfrac{17}{7} =$ 2,428571 428571 428571 428571 428571 4… ;
$428571$ se répète.
$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ ; $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \notin \mathbb{Q}$ ; $\pi \notin \mathbb{Q}$
Tous les nombres utilisés au tronc commun sont des réels. Cet ensemble est noté $\mathbb{R}$.
Parmi les nombres réels, il y a les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux, les nombres rationnels. Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels.
Et on a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Un irrationnel a une écriture décimale non périodique infinie.
Par exemple : $\sqrt{2} = 1{,}41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,7\ldots$
Compléter par : $\in$ ; $\notin$ ; $\subset$ ; $\not\subset$
$6 \ldots \mathbb{Z}$ ; $\dfrac{2}{3} \ldots \mathbb{Q}$ ; $\sqrt{2} \ldots \mathbb{Q}$ ; $\sqrt{2} \ldots \mathbb{R}$ ; $\mathbb{Q} \ldots \mathbb{R}$ ; $\mathbb{N} \ldots \mathbb{Q}$ ;
$-\dfrac{2}{3} \ldots \mathbb{R}^+$ ; $\dfrac{2}{3} \ldots \mathbb{N}$ ; $\dfrac{6}{2} \ldots \mathbb{N}$ ; $\dfrac{\sqrt{100}}{5} \ldots \mathbb{N}$ ; $\mathbb{Q} \ldots \mathbb{Z}$ ; $\mathbb{Z} \ldots \mathbb{Q}$ ;
$\pi \ldots \mathbb{Z}$ ; $0 \ldots \mathbb{Q}^*$ ; $-\dfrac{7}{3} \ldots \mathbb{Q}^{+*}$ ; $\sqrt{16} \ldots \mathbb{N}$ ; $0 \ldots \mathbb{R}^*$ ;
$\{1 ; 3 ; -8\} \ldots \mathbb{N}$ ; $\mathbb{R}^+ \ldots \mathbb{R}$ ; $\dfrac{1}{2} \ldots \mathbb{D}$ ; $\dfrac{1}{3} \ldots \mathbb{D}$
$6 \in \mathbb{Z}$ ; $\dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}$ ; $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ ; $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ ; $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ; $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ ;
$-\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{R}^+$ ; $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{N}$ ; $\dfrac{6}{2} \in \mathbb{N}$ ; $\dfrac{\sqrt{100}}{5} \in \mathbb{N}$ ; $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{Z}$ ; $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ ;
$\pi \notin \mathbb{Z}$ ; $0 \notin \mathbb{Q}^*$ ; $-\dfrac{7}{3} \notin \mathbb{Q}^{+*}$ ; $\sqrt{16} \in \mathbb{N}$ ; $0 \notin \mathbb{R}^*$ ;
$\{1 ; 3 ; -8\} \not\subset \mathbb{N}$ ; $\mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}$ ; $\dfrac{1}{2} \in \mathbb{D}$ ; $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$
$a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ et $c \in \mathbb{R}$ et $d \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}$
$a + b = b + a$ ; $a + (b + c) = (a + b) + c$ $= a + b + c$
$-a$ l'opposé de $a$ :
$(-a) + a = a + (-a) = 0$ et $a + 0 = 0 + a = a$
$a - b = a + (-b)$ et $-(a - b) = -a + b$
$a \times b = b \times a = ab = ba$ et $a(bc) = (ab)c = (ac)b = abc$
Si $a \neq 0$ : $a \times \dfrac{1}{a} = 1$ ; $\dfrac{1}{a}$ l'inverse de $a$ et $\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$
$k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$
$(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd$
Si $bd \neq 0$ : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$ et $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ et $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad - bc}{bd}$ et $k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{ak}{b}$
$\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}} = a \times \dfrac{c}{b} = \dfrac{ac}{b}$ ; $bc \neq 0$ et $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$
Si on a : $\begin{cases} a = b \\ c = d \end{cases}$ alors $a + c = b + d$
Si $bd \neq 0$ : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ si et seulement si $ad = bc$
$\dfrac{a}{b} = 0$ ssi $a = 0$
Calculer et simplifier :
$$A = \frac{3}{4} + \frac{5}{3} - \frac{7}{6}$$
$$B = \frac{-2}{3} + \frac{7}{6} - \frac{1}{4} - 2$$
$$C = \left(\frac{2}{3} - \frac{5}{2}\right)^2$$
$$D = \frac{5 + \dfrac{1}{3}}{2 - \dfrac{3}{2}}$$
$$E = \left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5} + 1 - \frac{1}{2}\right)$$
$$F = \frac{7 - \dfrac{4}{\pi}}{12 - 21\pi}$$
$$\begin{aligned}G &= \big[(a - c) - (a - b)\big]\\ &\quad - \big[(c - a) + (b - c)\big]\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} A &= \frac{3}{4} + \frac{5}{3} - \frac{7}{6}\\ &= \frac{9}{12} + \frac{20}{12} - \frac{14}{12}\\ &= \frac{9 + 20 - 14}{12}\\ &= \frac{15}{12}\\ &= \frac{5}{4} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= \frac{-2}{3} + \frac{7}{6} - \frac{1}{4} - 2\\ &= \frac{-8}{12} + \frac{14}{12} - \frac{3}{12} - \frac{24}{12}\\ &= \frac{-8 + 14 - 3 - 24}{12}\\ &= \frac{-21}{12}\\ &= -\frac{7}{4} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} C &= \left(\frac{2}{3} - \frac{5}{2}\right)^2\\ &= \left(\frac{4 - 15}{6}\right)^2\\ &= \left(\frac{-11}{6}\right)^2\\ &= \frac{(-11)^2}{6^2}\\ &= \frac{121}{36} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} D &= \frac{5 + \dfrac{1}{3}}{2 - \dfrac{3}{2}}\\ &= \frac{\dfrac{16}{3}}{\dfrac{1}{2}}\\ &= \frac{16}{3} \times \frac{2}{1}\\ &= \frac{32}{3} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} E &= \left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5} + 1 - \frac{1}{2}\right)\\ &= \left(\frac{3}{3} - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{4}{10} + \frac{10}{10} - \frac{5}{10}\right)\\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{4 + 10 - 5}{10}\right)\\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{9}{10}\right)\\ &= \frac{2}{3} \times \frac{3 \times 3}{5 \times 2}\\ &= \frac{3}{5} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} F &= \frac{7 - \dfrac{4}{\pi}}{12 - 21\pi}\\ &= \frac{\dfrac{7\pi - 4}{\pi}}{\dfrac{12 - 21\pi}{1}}\\ &= \frac{7\pi - 4}{\pi} \times \frac{1}{12 - 21\pi}\\ &= \frac{7\pi - 4}{\pi} \times \frac{1}{-3(7\pi - 4)}\\ &= -\frac{1}{3\pi} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} G &= \big[(a - c) - (a - b)\big]\\ &\quad - \big[(c - a) + (b - c)\big]\\ &= (a - c - a + b)\\ &\quad - (c - a + b - c)\\ &= a - c - a + b\\ &\quad - c + a - b + c\\ &= a - c \end{aligned}$$
$a$ est un nombre positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est égal à $a$.
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
$\sqrt{4} = 2$ ; $\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{1} = 1$ ; $\sqrt{4} = 2$ ; $\sqrt{9} = 3$ ; $\sqrt{16} = 4$ ; $\dots$ ; $\sqrt{225} = 15$
$\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$ ; $\sqrt{36000000} = 6000$
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs ou nuls :
1) $\left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a^2} = a$
2) $\left(\sqrt{a}\right)^n = \sqrt{a^n}$ ; $n \in \mathbb{N}^*$
3) $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
4) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ; $b > 0$
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$
En effet : $\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$ car : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
et $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
$x \geq 0$ et $y \geq 0$ :
$\sqrt{x} = \sqrt{y}$ ssi $x = y$
$a \in \mathbb{R}^+$ :
$x^2 = a$ si et seulement si $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
Résoudre l'équation suivante : $x^2 = 100$.
$x^2 = 100$ si et seulement si $x = \sqrt{100}$ ou $x = -\sqrt{100}$
ssi $x = 10$ ou $x = -10$.
Donc : $S = \{-10 ; 10\}$.
| $a$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ |
| $\sqrt{a}$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $a$ | $36$ | $49$ | $64$ | $81$ | $100$ |
| $\sqrt{a}$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
$\sqrt{121} = 11$ ; $\sqrt{144} = 12$ ; $\sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{196} = 14$ ;
$\sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{625} = 25$.
Calculer et simplifier :
$$A = \sqrt{\frac{9}{2}}$$
$$B = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}$$
$$C = 3\sqrt{20} + 4\sqrt{45} - 2\sqrt{80} - \sqrt{180}$$
$$\begin{aligned}D &= \left(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5}\right)\\ &\quad \times \left(\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\end{aligned}$$
$$E = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$$
$$\begin{aligned} A &= \sqrt{\frac{9}{2}}\\ &= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ &= \frac{3\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^2}\\ &= \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{14}}\\ &= \sqrt{\frac{28}{14}}\\ &= \sqrt{2} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} C &= 3\sqrt{20} + 4\sqrt{45} - 2\sqrt{80} - \sqrt{180}\\ &= 3\sqrt{4 \times 5} + 4\sqrt{9 \times 5}\\ &\quad - 2\sqrt{16 \times 5} - \sqrt{36 \times 5}\\ &= 3 \times 2\sqrt{5} + 4 \times 3\sqrt{5}\\ &\quad - 2 \times 4\sqrt{5} - 6\sqrt{5}\\ &= 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 8\sqrt{5} - 6\sqrt{5}\\ &= (6 + 12 - 8 - 6)\sqrt{5} \end{aligned}$$
$C = 4\sqrt{5}$
$$\begin{aligned} D &= \left(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{5}\right)\\ &\quad \times \left(\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\\ &= \left(\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right) - \sqrt{5}\right)\\ &\quad \times \left(\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right) + \sqrt{5}\right)\\ &= \left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2\\ &= \left(\sqrt{3}\right)^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2 - 5\\ &= 3 + 2\sqrt{3 \times 2} + 2 - 5 \end{aligned}$$
$D = 2\sqrt{6}$
$$\begin{aligned} E &= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}\\ &= \frac{\begin{gathered}\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)\\ - \left(\sqrt{3} - \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3} - \sqrt{5}\right)\end{gathered}}{\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3} - \sqrt{5}\right)}\\ &= \frac{\begin{gathered}\left(\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)^2\\ - \left(\sqrt{3} - \sqrt{5}\right)^2\end{gathered}}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}\\ &= \frac{\begin{gathered}\left(\sqrt{3}\right)^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + \left(\sqrt{5}\right)^2\\ - \big(\left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5}\\ + \left(\sqrt{5}\right)^2\big)\end{gathered}}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}\\ &= \frac{\begin{gathered}3 + 2\sqrt{15} + 5\\ - \left(3 - 2\sqrt{15} + 5\right)\end{gathered}}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}\\ &= \frac{\begin{gathered}3 + 2\sqrt{15} + 5\\ - 3 + 2\sqrt{15} - 5\end{gathered}}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2}\\ &= \frac{4\sqrt{15}}{-2}\\ &= -2\sqrt{15} \end{aligned}$$
Soit $$E = \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}}$$
Montrer que $E$ est un nombre entier relatif.
$$\begin{aligned} E &= \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}} + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}}\\ &= \frac{\begin{gathered}\left(5\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{2} + \sqrt{7}\right)\\ + 5\sqrt{2}\left(\sqrt{2} - \sqrt{7}\right)\end{gathered}}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{7}\right)\left(\sqrt{2} - \sqrt{7}\right)}\\ &= \frac{\begin{gathered}5\sqrt{7}\sqrt{2} + 5\sqrt{7}\sqrt{7}\\ + 5\sqrt{2}\sqrt{2} - 5\sqrt{2}\sqrt{7}\end{gathered}}{\left(\sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{7}\right)^2}\\ &= \frac{35 + 10}{\left(\sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{7}\right)^2}\\ &= \frac{45}{-5}\\ &= -9 \in \mathbb{Z} \end{aligned}$$
Calculer et simplifier :
$$\begin{aligned}A &= \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} A &= \sqrt{\begin{gathered}\left(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}\right)\\ \times \left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}\right)\end{gathered}}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2}\\ &= \sqrt{2^2 - \left(\sqrt{2 + \sqrt{2}}\right)^2}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2}\\ &= \sqrt{4 - \left(2 + \sqrt{2}\right)}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2}\\ &= \sqrt{2 - \sqrt{2}}\\ &\quad \times \sqrt{2 + \sqrt{2}} \times \sqrt{2}\\ &= \sqrt{2^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} \times \sqrt{2}\\ &= \sqrt{2} \times \sqrt{2}\\ &= 2 \end{aligned}$$
Rendre le dénominateur rationnel du quotient suivant : $A = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$
On multiplie le dénominateur par son conjugué :
$$\begin{aligned} A &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\\ &= \frac{\sqrt{2} + 1}{\left(\sqrt{2} - 1\right)\left(\sqrt{2} + 1\right)}\\ &= \frac{\sqrt{2} + 1}{\left(\sqrt{2}\right)^2 - 1^2}\\ &= \frac{\sqrt{2} + 1}{1}\\ &= \sqrt{2} + 1 \end{aligned}$$
$a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$.
Le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ est noté $a^n$ et s'appelle la puissance $n$-ième de $a$ ; $n$ est appelé exposant :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$
Cas particulier : $a^1 = a$ ; $a^0 = 1$
Et on a : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. En particulier, pour $a \neq 0$ : $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$
$10^n = 1\underbrace{00\cdots0}_{n}$ ; $n \in \mathbb{N}$ ($n$ zéros)
$10^{-n} = \underbrace{0{,}00\cdots0}_{n}1$ ; $n \in \mathbb{N}$ ($n$ zéros)
$10^1 = 10$ ; $10^{-1} = 0{,}1$ ; $10^{-2} = 0{,}01$ ; $10^0 = 1$
$a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}^*$ et $n \in \mathbb{N}^*$ ; $m \in \mathbb{N}^*$ :
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ ; $a^n \times b^n = (ab)^n$ ;
$\left(a^n\right)^m = a^{nm}$ ; $a^n \times a^m = a^{n+m}$ ; $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
a) La puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair.
b) La puissance d'un nombre négatif est négative si l'exposant est impair.
Exemple : $(-1)^{2020} = 1^{2020} = 1$ et $(-1)^{2019} = -1^{2019} = -1$
Simplifier et écrire sous forme d'une puissance :
$$A = 2^3 \times \left(2^2\right)^4 \times \left(2^{-5}\right)^3$$
$$B = (-3)^1 \times (-3)^5 \times (3)^2 \times (-3)^{-10}$$
$$C = \frac{3^{-5} \times 4^{-2}}{12^3} \times \frac{9}{2^2}$$
$$D = \frac{(-2)^3 \times \left(4^2\right)^{-1} \times 8}{1024 \times (-16)^{-4}}$$
$$E = \frac{10^{-8} \times 10^9 \times 10^7 \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 10^3 \times 10^5}$$
$$\begin{aligned} A &= 2^3 \times \left(2^2\right)^4 \times \left(2^{-5}\right)^3\\ &= 2^3 \times 2^{2 \times 4} \times 2^{-5 \times 3}\\ &= 2^{3 + 8 - 15}\\ &= 2^{-4} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} A &= \frac{1}{2^4}\\ &= \frac{1}{16} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= (-3)^1 \times (-3)^5\\ &\quad \times (3)^2 \times (-3)^{-10}\\ &= -(3)^1 \times -(3)^5\\ &\quad \times (3)^2 \times (3)^{-10} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= 3^1 \times 3^5 \times 3^2 \times 3^{-10}\\ &= 3^{1 + 5 + 2 - 10}\\ &= 3^{-2}\\ &= \frac{1}{3^2}\\ &= \frac{1}{9} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} C &= \frac{3^{-5} \times 4^{-2}}{12^3} \times \frac{9}{2^2}\\ &= \frac{3^{-5} \times \left(2^2\right)^{-2}}{\left(3 \times 2^2\right)^3} \times \frac{3^2}{2^2}\\ &= \frac{3^{-5} \times (2)^{-4} \times 3^2}{(3)^3 \times 2^6 \times 2^2}\\ &= 3^{-5} \times 2^{-4} \times 3^2 \times (3)^{-3}\\ &\quad \times 2^{-6} \times 2^{-2}\\ &= 3^{-5 - 3 + 2} \times 2^{-4 - 6 - 2} \end{aligned}$$
$C = 3^{-6} \times 2^{-12}$
$$\begin{aligned} D &= \frac{(-2)^3 \times \left(4^2\right)^{-1} \times 8}{1024 \times (-16)^{-4}}\\ &= \frac{-2^3 \times 4^{2 \times (-1)} \times 2^3}{1024 \times \left(-2^4\right)^{-4}}\\ &= \frac{-2^3 \times \left(2^2\right)^{-2} \times 2^3}{2^{10} \times \left(-2^4\right)^{-4}} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} D &= -2^3 \times \left(2^2\right)^{-2} \times 2^3\\ &\quad \times 2^{-10} \times (-2)^{4 \times 4}\\ &= -2^{3 - 4 + 3 - 10 + 16}\\ &= -2^8\\ &= -256 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} E &= \frac{10^{-8} \times 10^9 \times 10^7 \times 10^{-4}}{10^{-2} \times 10^3 \times 10^5}\\ &= 10^{-8} \times 10^9 \times 10^7 \times 10^{-4}\\ &\quad \times 10^2 \times 10^{-3} \times 10^{-5} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} E &= 10^{-8 + 9 + 7 - 4 + 2 - 3 - 5}\\ &= 10^{-2}\\ &= \frac{1}{10^2}\\ &= \frac{1}{100}\\ &= 0{,}01 \end{aligned}$$
La notation scientifique d'un nombre décimal est de la forme $a \times 10^p$ où $a$ est un nombre décimal ($1 \leq a < 10$) et $p$ un nombre entier relatif.
$593{,}7 = 5{,}937 \times 10^2$ et $7300 = 7{,}3 \times 10^3$
$2328423 = 2{,}328423 \times 10^6$ et $-0{,}051 = -5{,}1 \times 10^{-2}$
$-0{,}00032 = -3{,}2 \times 10^{-4}$
Écrire en notation scientifique le nombre
$$\begin{aligned} A &= 9 \times 10^{-3} + 0{,}4 \times 10^{-2}\\ &\quad - 9 \times 10^{-4} \end{aligned}$$
en mettant d'abord $10^{-4}$ en facteur et sans utiliser de calculatrice.
$a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ :
1) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3) $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
4) $a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$
5) $a^3 + b^3 = (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right)$ Somme de deux cubes
6) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ Cube d'une somme
7) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ Cube d'une différence
Ces formules sont pour développer et pour factoriser. Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.
$x \in \mathbb{R}$. Développer, calculer et simplifier :
$$A = \left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2$$
$$B = \left[\left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)\right]^2$$
$$C = \left(\sqrt{2} + 1\right)^3$$
$$D = (3x - 2)^3$$
$$E = (x + 2)\left(x^2 - 2x + 4\right)$$
$$\begin{aligned}F &= (200520052006)^2\\ &\quad - (200520052005 \times 200520052007)\end{aligned}$$
Solution
$$\begin{aligned} A &= \left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2\\ &= \left(\sqrt{5}\right)^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2\\ &\quad - \left(\left(\sqrt{5}\right)^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2\right)\\ &= 5 + 2\sqrt{10} + 2 - \left(5 - 2\sqrt{10} + 2\right)\\ &= 5 + 2\sqrt{10} + 2 - 5 + 2\sqrt{10} - 2\\ &= 4\sqrt{10} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= \left[\left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)\right]^2\\ &= \left(\left(\sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2\right)^2\\ &= (2 - 3)^2\\ &= (-1)^2\\ &= 1 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} C &= \left(\sqrt{2} + 1\right)^3\\ &= \left(\sqrt{2}\right)^3 + 3\left(\sqrt{2}\right)^2 \times 1\\ &\quad + 3\sqrt{2}(1)^2 + (1)^3\\ &= 2\sqrt{2} + 3 \times 2 + 3\sqrt{2} + 1 \end{aligned}$$
$C = 5\sqrt{2} + 7$
$$\begin{aligned} D &= (3x - 2)^3\\ &= (3x)^3 - 3(3x)^2 \times 2\\ &\quad + 3 \times 3x \times (2)^2 - (2)^3 \end{aligned}$$
$D = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$
$$\begin{aligned} E &= (x + 2)\left(x^2 - 2x + 4\right)\\ &= (x + 2)\left(x^2 - 2 \times x + 2^2\right)\\ &= x^3 + 2^3\\ &= x^3 + 8 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}F &= (200520052006)^2\\ &\quad - (200520052005 \times 200520052007)\end{aligned}$$
On remarque que les nombres $200520052006$, $200520052005$ et $200520052007$ diffèrent par leurs chiffres des unités.
Pour simplifier on pose : $x = 200520052006$.
Donc : $200520052005 = x - 1$ et $200520052007 = x + 1$.
Donc :
$$\begin{aligned} F &= x^2 - (x - 1)(x + 1)\\ &= x^2 - \left(x^2 - 1\right)\\ &= x^2 - x^2 + 1\\ &= 1 \end{aligned}$$
Donc : $F = 1$.
$x \in \mathbb{R}$. Factoriser les expressions suivantes :
1) $49x^2 - 81$
2) $16x^2 - 8x + 1$
3) $x^3 - 8$
4) $C = (a + 1)(2a - 3) + 6(a + 1)$
5) $D = 27x^3 + 1$
Solution
1) On regarde l'expression, pour choisir l'identité remarquable à appliquer. L'expression semble être de la forme $a^2 - b^2$.
$$\begin{aligned} 49x^2 - 81 &= (7x)^2 - 9^2\\ &= (7x - 9) \times (7x + 9) \end{aligned}$$
Il s'agit d'un produit. L'expression est factorisée.
2)
$$\begin{aligned} &16x^2 - 8x + 1\\ &= (4x)^2 - 2 \times (4x) \times 1 + 1^2\\ &= (4x - 1)^2 \end{aligned}$$
3)
$$\begin{aligned} x^3 - 8 &= x^3 - 2^3\\ &= (x - 2)\left(x^2 + 2x + 2^2\right)\\ &= (x - 2)\left(x^2 + 2x + 4\right) \end{aligned}$$
4) $(a + 1)$ est le facteur commun.
$C = (a + 1)(2a - 3 + 6)$. Donc $C = (a + 1)(2a + 3)$.
5) $D = 27x^3 + 1$ : il n'y a pas de facteur commun. L'expression semble être de la forme $a^3 + b^3$.
$$\begin{aligned} D &= 27x^3 + 1\\ &= (3x)^3 + 1^3\\ &= (3x + 1)\left((3x)^2 - 1(3x) + 1^2\right)\\ &= (3x + 1)\left(9x^2 - 3x + 1\right) \end{aligned}$$
Pour factoriser une expression, on doit :
On ne peut pas toujours factoriser une expression.
Exemple : $16x^2 + 8x + 3 = (4x + 1)^2 + 2$ ; cette expression ne peut pas être factorisée sous la forme d'un produit de deux facteurs de degré $1$.
Remplissez les blancs suivants :
$10 - 4\sqrt{6} = (\ldots - \ldots)^2$
$4 + 2\sqrt{3} = (\ldots + \ldots)^2$
$$\begin{aligned} &4 + 2\sqrt{3}\\ &= 4 + 2 \times \sqrt{3} \times 1\\ &= 3 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1\\ &= \left(\sqrt{3}\right)^2 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 + (1)^2 \end{aligned}$$
$4 + 2\sqrt{3} = \left(\sqrt{3} + 1\right)^2$
$$\begin{aligned} &10 - 4\sqrt{6}\\ &= 10 - 2 \times 2 \times \sqrt{6}\\ &= (2)^2 - 2 \times \sqrt{6} \times 2 + \left(\sqrt{6}\right)^2 \end{aligned}$$
$10 - 4\sqrt{6} = \left(2 - \sqrt{6}\right)^2$
$a \in \mathbb{R}^{*+}$ et $b \in \mathbb{R}^{*+}$ et $a \geq b$.
Montrer que :
$$\begin{aligned}&\sqrt{a + \sqrt{a^2 - b^2}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)\end{aligned}$$
Pour montrer que deux nombres positifs sont égaux, on pourra montrer que leurs carrés sont égaux.
$$\begin{aligned}&\left(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2\\ &= a + \sqrt{a^2 - b^2}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)\right)^2\\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\\ &\quad \times \left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)^2\\ &= \frac{2}{4} \times \left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)^2\\ &= \frac{1}{2} \times \Big(\left(\sqrt{a - b}\right)^2\\ &\quad + 2\sqrt{a - b}\sqrt{a + b}\\ &\quad + \left(\sqrt{a + b}\right)^2\Big)\\ &= \frac{1}{2} \times \Big(a - b + 2\sqrt{(a - b)(a + b)}\\ &\quad + a + b\Big)\\ &= \frac{1}{2} \times \left(2a + 2\sqrt{(a - b)(a + b)}\right)\\ &= a + \sqrt{(a - b)(a + b)}\\ &= a + \sqrt{a^2 - b^2} \end{aligned}$$
Donc on a :
$$\begin{aligned}&\left(\sqrt{a + \sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2\\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)\right)^2\end{aligned}$$
Donc :
$$\begin{aligned}&\sqrt{a + \sqrt{a^2 - b^2}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a - b} + \sqrt{a + b}\right)\end{aligned}$$
$x \in \mathbb{R}$. Factoriser les expressions suivantes :
$A = 16x^2 - 8x + 1$ ; $B = 16 - 25x^2$ ; $C = 1 - (1 - 3x)^2$
$D = (2x - 1)^3 - 8$ ; $E = 27 + x^3$ ; $F = x^{12} - 2x^6 + 1$
$H = x^3 + 1 + 2\left(x^2 - 1\right) - (x + 1)$ et $G = x^5 + x^3 - x^2 - 1$
$$\begin{aligned} A &= 16x^2 - 8x + 1\\ &= (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2\\ &= (4x - 1)^2 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} B &= 16 - 25x^2\\ &= (4)^2 - (5x)^2\\ &= (4 - 5x)(4 + 5x) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} C &= 1 - (1 - 3x)^2\\ &= 1^2 - (1 - 3x)^2\\ &= \big(1 - (1 - 3x)\big)\big(1 + (1 - 3x)\big)\\ &= (1 - 1 + 3x)(1 + 1 - 3x)\\ &= 3x(2 - 3x) \end{aligned}$$
$D = (2x - 1)^3 - 8 = (2x - 1)^3 - 2^3$
On a : $a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right)$
donc :
$$\begin{aligned} D &= \big((2x - 1) - 2\big)\\ &\quad \times \big((2x - 1)^2 + (2x - 1) \times 2\\ &\qquad + 2^2\big)\\ &= (2x - 3)\\ &\quad \times \big((2x)^2 - 4x + 1\\ &\qquad + 4x - 2 + 4\big)\\ &= (2x - 3)\left(4x^2 + 3\right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} E &= 27 + x^3\\ &= 3^3 + x^3\\ &= (3 + x)\left(3^2 - 3x + x^2\right) \end{aligned}$$
On a : $a^3 + b^3 = (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right)$
$E = (3 + x)\left(9 - 3x + x^2\right)$
$$\begin{aligned} F &= \left(x^6\right)^2 - 2x^6 + 1\\ &= \left(x^6\right)^2 - 2x^6 \times 1 + 1^2\\ &= \left(x^6 - 1\right)^2 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} G &= x^5 + x^3 - x^2 - 1\\ &= x^3\left(x^2 + 1\right) - \left(x^2 + 1\right)\\ &= \left(x^3 - 1\right)\left(x^2 + 1\right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} H &= x^3 + 1 + 2\left(x^2 - 1\right)\\ &\quad - (x + 1)\\ &= x^3 + 1^3 + 2\left(x^2 - 1^2\right)\\ &\quad - (x + 1)\\ &= (x + 1)\left(x^2 - x + 1^2\right)\\ &\quad + 2(x + 1)(x - 1) - (x + 1)\\ &= (x + 1)\big(x^2 - x + 1\\ &\qquad + 2(x - 1) - 1\big)\\ &= (x + 1)\\ &\quad \times \left(x^2 - x + 1 + 2x - 2 - 1\right) \end{aligned}$$
$H = (x + 1)\left(x^2 + x - 2\right)$
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