Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1+\sqrt{x}\cos x}{x+1} & \text{si } x\geq 0\\[2mm] \dfrac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)} & \text{si } x<0\end{cases}$$
et soit $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
1) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$
2) a) Montrer que pour tout $x\geq 0$ on a :
$$\frac{1-\sqrt{x}}{x+1}\leq f(x)\leq \frac{1+\sqrt{x}}{x+1}$$
b) En déduire $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et interpréter le résultat graphiquement.
3) a) Calculer $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$
b) Calculer $\lim_{x\to-\infty} 2f(x)+x$ et interpréter le résultat graphiquement.
4) Déterminer $\lim_{x\to0^+} f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$ ; $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-} f\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)$ et $\lim_{x\to-\infty} f\circ f(x)$
Voir la correction
1)
** $f(0)=\dfrac{1+\sqrt{0}\cos 0}{0+1}=1$
$$\begin{aligned}\lim_{x\to0^-}f(x)&=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}\\&=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}\\&=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}{2(x^2+1-1)}\\&=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}{2x^2}\\&=\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{2}\\&=1\end{aligned}$$
$$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1+\sqrt{x}\cos x}{x+1}=1$$
on a $\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)$ donc $f$ est continue en $0$.
** $x\mapsto\cos x$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $[0,+\infty[$
$x\mapsto x$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $[0,+\infty[$ et elle est positive donc
$x\mapsto\sqrt{x}$ est continue sur $[0,+\infty[$
$x\mapsto 1+\sqrt{x}\cos x$ est continue sur $[0,+\infty[$
$x\mapsto x^2+1$ est continue sur $\mathbb{R}$ en particulier sur $]-\infty,0[$ et elle est positive donc
$x\mapsto\sqrt{x^2+1}-1$ est continue sur $]-\infty,0[$ et $\sqrt{x^2+1}-1\neq 0$
$x\mapsto\dfrac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}$ est continue sur $]-\infty,0[$
ainsi $f$ est continue sur $]-\infty,0[$ et sur $[0,+\infty[$
et comme $f$ est continue en $0$ donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2) a)
Montrer que pour tout $x\geq 0$ on a :
$$\begin{aligned}-1\leq\cos x\leq 1&\Rightarrow -\sqrt{x}\leq\sqrt{x}\cos x\leq\sqrt{x}\\&\Rightarrow 1-\sqrt{x}\leq 1+\sqrt{x}\cos x\leq 1+\sqrt{x}\\&\Rightarrow \frac{1-\sqrt{x}}{x+1}\leq\frac{1+\sqrt{x}\cos x}{x+1}\leq\frac{1+\sqrt{x}}{x+1}\quad(\text{car } x+1>0)\\&\Rightarrow \frac{1-\sqrt{x}}{x+1}\leq f(x)\leq\frac{1+\sqrt{x}}{x+1}\end{aligned}$$
2) b)
Pour tout $x\geq 0$ on a : $\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+1}\leq f(x)\leq\dfrac{1+\sqrt{x}}{x+1}$
$$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\sqrt{x}}{x+1}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}=0\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\sqrt{x}}{x+1}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}+1}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}=0\end{aligned}$$
donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
donc la droite d'équation $y=0$ est une horizontale à $C_f$ au voisinage de $+\infty$.
3) a)
$$\begin{aligned}\lim_{x\to-\infty}f(x)&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}-1\right)}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2\left(|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1\right)}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2\left(-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1\right)}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{-2x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{2\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)}\\&=+\infty\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\dfrac{-x}{2\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)}}{x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1}{2\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$
3) b)
$$\begin{aligned}\lim_{x\to-\infty}2f(x)+x&=\lim_{x\to-\infty}2\left(\frac{x^2}{2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}\right)+x=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}-1}+x\\&=\frac{x^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}{\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}+x=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)}{x^2}+x\\&=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}+1+x=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}+x+1\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{\sqrt{x^2+1}-x}+1\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}+1=1\end{aligned}$$
On a $\lim_{x\to-\infty}2f(x)+x=1\Leftrightarrow\lim_{x\to-\infty}2\left(f(x)+\dfrac{1}{2}x\right)=1\Leftrightarrow\lim_{x\to-\infty}f(x)+\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\lim_{x\to-\infty}f(x)-\left(-\dfrac{1}{2}x\right)=\dfrac{1}{2}$
et $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\dfrac{1}{2}$ donc la droite d'équation $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$ et une assymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $-\infty$
4)
$\lim_{x\to0^+}f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=??$ on a $\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ donc $\lim_{x\to0^+}f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=0$
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}f\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)=??$ $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\cos x=+\infty$ donc $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\dfrac{1}{\cos x}=0^+$ et $\lim_{x\to0^+}f(x)=1$ donc $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}f\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)=1$
$\lim_{x\to-\infty}f\circ f(x)=??$ $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ donc $\lim_{x\to-\infty}f\circ f(x)=0$