Le chapitre Fonctions exponentielles en 2 bac PC et SVT : définition de exp, écriture e puissance x, limites usuelles, dérivée et primitives, études de fonctions, exponentielle de base a et puissances réelles, avec exercices corrigés.
La fonction $\ln$ est continue strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ et $\ln(]0 ; +\infty[) = \mathbb{R}$. Elle admet donc une fonction réciproque définie de $]-\infty ; +\infty[$ vers $]0 ; +\infty[$, appelée fonction exponentielle népérienne et notée $\exp$.
La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On a donc :
$$(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\ \big(\exp(x) = \exp(y) \iff x = y\big)$$ $$(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\ \big(\exp(x) \leq \exp(y) \iff x \leq y\big)$$Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
1) $\exp\left(\dfrac{x+5}{2x+3}\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$
2) $\exp(2x+1) \leq \exp\left(\dfrac{6}{x}\right)$
1) Cette équation est définie si et seulement si $2x + 3 \neq 0$ et $x - 1 \neq 0$, donc $D_E = \mathbb{R} - \left\{-\dfrac{3}{2} ; 1\right\}$.
$$\exp\left(\frac{x+5}{2x+3}\right) = \exp\left(\frac{1}{x-1}\right) \iff \frac{x+5}{2x+3} = \frac{1}{x-1} \iff (x+5)(x-1) = 2x+3 \iff x^2 + 2x - 8 = 0$$$\Delta = 4 + 32 = 36 > 0$, $x_1 = 2$ et $x_2 = -4$, donc $S = \{-4 ; 2\}$.
2) Cette inéquation est définie si et seulement si $x \neq 0$, donc $D_I = \mathbb{R}^*$.
$$\exp(2x+1) \leq \exp\left(\frac{6}{x}\right) \iff 2x + 1 \leq \frac{6}{x} \iff \frac{2x^2 + x - 6}{x} \leq 0$$ $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & \dfrac{3}{2} & & +\infty \\ \hline 2x^2+x-6 & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline x & & - & & - & 0 & + & & + & \\ \hline \dfrac{2x^2+x-6}{x} & & - & 0 & + & & - & 0 & + & \end{array}$$ $$S = \,]-\infty ; -2] \cup \left]0 ; \frac{3}{2}\right]$$Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ on note $\exp(x) = e^x$. Pour tout $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$ on a :
$$e^{x+y} = e^x \times e^y \qquad ; \qquad e^{-x} = \frac{1}{e^x} \qquad ; \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$$ $$e^{rx} = \left(e^x\right)^r \ (r \in \mathbb{Q}) \qquad ; \qquad e^{\ln x} = x \ (\forall x > 0) \qquad ; \qquad \ln\left(e^x\right) = x \ (\forall x \in \mathbb{R})$$ $$(\forall y > 0)(\forall x \in \mathbb{R})\ \big(e^x = y \iff x = \ln y\big)$$ $$(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\ \big(e^x = e^y \iff x = y\big) \qquad ; \qquad \big(e^x \geq e^y \iff x \geq y\big)$$Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
1) $e^{1-x} \times e^{2x} = e$
2) $\dfrac{e^{2-x}}{e^{1+2x}} = e^{x-1}$
3) $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$
4) $e^{x^2} \cdot \left(e^x\right)^3 = \left(e^{-x}\right)^5 \cdot e^{-7}$
5) $e^{2x-3} - (e+1)e^{x-2} + 1 < 0$
1) $e^{2x+1-x} = e^1 \iff e^{x+1} = e^1 \iff x + 1 = 1 \iff x = 0$, donc $S = \{0\}$.
2) $e^{(2-x)-(1+2x)} = e^{x-1} \iff (2-x) - (1+2x) = x - 1 \iff -4x = -2 \iff x = \dfrac{1}{2}$, donc $S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.
3) $\left(e^x\right)^2 - 5e^x + 6 = 0$ ; on pose $e^x = X$, donc $X^2 - 5X + 6 = 0$, $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, $X_1 = 3$ et $X_2 = 2$.
$$e^{x_1} = 3 \ \text{et} \ e^{x_2} = 2 \quad \text{donc} \quad x_1 = \ln 3 \ \text{et} \ x_2 = \ln 2 \qquad S = \{\ln 2 ; \ln 3\}$$4) $e^{x^2} \cdot e^{3x} = e^{-5x} \cdot e^{-7} \iff e^{x^2+3x} = e^{-5x-7} \iff x^2 + 3x = -5x - 7 \iff x^2 + 8x + 7 = 0$.
$\Delta = 64 - 28 = 36 > 0$, $x_1 = -1$ et $x_2 = -7$, donc $S = \{-7 ; -1\}$.
5) L'inéquation équivaut à $e^{-3}\left(e^{2x} - (e+1)e^{x+1} + e^3\right) < 0$, et puisque $e^{-3} > 0$ :
$$\left(e^x\right)^2 - \left(e^2 + e\right)e^x + e^3 < 0$$On pose $e^x = t$ : $t^2 - \left(e^2+e\right)t + e^3 = (t - e)\left(t - e^2\right)$, donc :
$$\left(e^x - e\right)\left(e^x - e^2\right) < 0 \iff (x-1)(x-2) < 0 \iff x \in \,]1 ; 2[ \qquad S = \,]1 ; 2[$$avec $n \in \mathbb{N}^*$.
Déterminer les limites suivantes :
1) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 + 3x + 4}$
2) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^5 e^{-\sqrt{-x}}$
3) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x}$
4) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{x+1} - e}{x}$
1)
$$\frac{e^x}{x^2+3x+4} = \frac{e^x}{x^2\left(1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}\right)} = \frac{e^x}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}$$On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2+3x+4} = +\infty$.
2) On pose $t = \sqrt{-x}$ ; $x \to -\infty \iff t \to +\infty$ :
$$\lim_{x \to -\infty} x^5 e^{-\sqrt{-x}} = \lim_{t \to +\infty} -t^{10}e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} -\frac{t^{10}}{e^t} = 0$$3)
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x} = 1 \times 1 = 1$$car $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} = 1$ (on pose $t = \sin x$) et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
4) On pose $f(x) = e^{x+1}$, donc $f(0) = e^{0+1} = e$ et $f'(x) = (x+1)'e^{x+1} = e^{x+1}$, donc $f'(0) = e$ :
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x+1} - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = e$$La fonction $\exp$ est strictement monotone sur $\mathbb{R}$, car $\exp$ est la fonction réciproque de la fonction $\ln$ qui est strictement monotone sur $]0 ; +\infty[$. Les courbes $C_{\ln}$ et $C_{\exp}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $(\Delta) : y = x$.
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline \exp(x) & 0 & \nearrow & 1 & \nearrow & e & \nearrow & +\infty \end{array}$$La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\forall x \in \mathbb{R})\ \big(\exp'(x) = \exp(x)\big)$.
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\exp(u(x))$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\forall x \in I)\quad \big(\exp(u(x))\big)' = u'(x)\,\exp(u(x))$$Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
1) $f(x) = e^{\sqrt{2x+1}}$
2) $g(x) = e^{-2x^2} - 3e^{3x+1}$
3) $h(x) = e^{\frac{x+1}{-x+3}}$
4) $f(x) = \left(e^x - 4\right)\sqrt{e^x - 1}$
1) La fonction $u_1 : x \to \sqrt{2x+1}$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$ et $u_1'(x) = \dfrac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$. Donc $f$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[$ et :
$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,e^{\sqrt{2x+1}}$$2) Les fonctions $u_1 : x \to -2x^2$ et $u_2 : x \to 3x+1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ avec $u_1'(x) = -4x$ et $u_2'(x) = 3$. Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$$g'(x) = -4x\,e^{-2x^2} - 9e^{3x+1}$$3) La fonction $u : x \to \dfrac{x+1}{-x+3}$ est dérivable sur $]3 ; +\infty[$ et $]-\infty ; 3[$ avec $u'(x) = \dfrac{4}{(x-3)^2}$. Donc $h$ est dérivable sur $]3 ; +\infty[$ et $]-\infty ; 3[$ et :
$$h'(x) = \frac{4}{(x-3)^2}\,e^{\frac{x+1}{-x+3}}$$4)
$$f'(x) = \left(e^x - 4\right)'\sqrt{e^x-1} + \left(e^x-4\right)\left(\sqrt{e^x-1}\right)' = e^x\sqrt{e^x-1} + \left(e^x-4\right)\frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}$$ $$f'(x) = \frac{2e^x\left(e^x-1\right) + e^x\left(e^x-4\right)}{2\sqrt{e^x-1}} = \frac{2e^{2x} - 2e^x + e^{2x} - 4e^x}{2\sqrt{e^x-1}} = \frac{3e^{2x} - 6e^x}{2\sqrt{e^x-1}}$$Si $u$ est une fonction dérivable, alors une primitive de $u'(x)\,e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$.
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
1) $f(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
2) $g(x) = \left(e^x\right)^2$
1) Si on pose $u(x) = \sqrt{x}$, on a $f(x) = 2u'(x)e^{u(x)}$ si $x > 0$, donc les primitives de $f$ sont :
$$F(x) = 2e^{u(x)} + \lambda = 2e^{\sqrt{x}} + \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$2) Si on pose $u(x) = e^x$, on a $g(x) = u'(x)u(x)$, donc les primitives de $g$ sont :
$$G(x) = \frac{1}{2}u^2(x) + \lambda = \frac{1}{2}\left(e^x\right)^2 + \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
1) $I = \mathbb{R}$ ; $f(x) = 2e^{3x} - e^{-x}$
2) $I = \,]0 ; +\infty[$ ; $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}$
3) $I = \mathbb{R}$ ; $f(x) = e^x\left(e^x-1\right)^3$
4) $I = [0 ; \pi]$ ; $f(x) = \sin x\, e^{\cos x}$
5) $I = \,]0 ; +\infty[$ ; $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x - x}$
1) $f(x) = \dfrac{2}{3}(3x)'e^{3x} + (-x)'e^{-x}$, donc $F(x) = \dfrac{2}{3}e^{3x} + e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
2) $f(x) = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{\left(e^{2x}-1\right)'}{\left(e^{2x}-1\right)^2}$, donc $F(x) = -\dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{e^{2x}-1}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
3) $f(x) = \left(e^x-1\right)'\left(e^x-1\right)^3$, donc $F(x) = \dfrac{1}{4}\left(e^x-1\right)^4$ est une primitive de $f$ sur $I$.
4) $f(x) = -(\cos x)'e^{\cos x}$, donc $F(x) = -e^{\cos x}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
5) $f(x) = \dfrac{\left(e^x - x\right)'}{e^x - x}$, donc $F(x) = \ln\left|e^x - x\right|$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = (x-1)e^x$.
1) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
2) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$.
3) Étudier la concavité de la courbe $C_f$.
1) $D_f = \mathbb{R}$.
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} xe^x - e^x = 0 \qquad \text{car} \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \ \text{et} \ \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$$Donc $y = 0$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. Et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
$$f'(x) = (x-1)'e^x + (x-1)\left(e^x\right)' = e^x + xe^x - e^x = xe^x$$Le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ :
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & +\infty \end{array}$$2)
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x}\,e^x = 1 \times (+\infty) = +\infty$$Donc la courbe $C_f$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
3)
$$f''(x) = \left(xe^x\right)' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$$Le signe de $f''(x)$ est celui de $x+1$ ; $x + 1 = 0 \iff x = -1$. Donc $(C_f)$ est convexe sur $[-1 ; +\infty[$, $(C_f)$ est concave sur $]-\infty ; -1]$, et $A\left(-1 ; -2e^{-1}\right)$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 1 + \dfrac{3}{e^x + 1}$.
1) Déterminer $D_f$ et calculer les limites aux bornes de $D_f$.
2) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
3) Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\ f(x) = x + 2 - \dfrac{3e^x}{e^x+1}$.
4) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$ et la position de $C_f$ par rapport aux asymptotes obliques.
1) $e^x + 1 = 0 \iff e^x = -1$ : pas de solution car $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $D_f = \mathbb{R}$.
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{car} \quad \lim_{x \to +\infty} x - 1 = +\infty \ \text{et} \ \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{e^x+1} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \quad \text{car} \quad \lim_{x \to -\infty} x - 1 = -\infty \ \text{et} \ \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{e^x+1} = 3$$2)
$$f'(x) = 1 - 3\,\frac{\left(e^x+1\right)'}{\left(e^x+1\right)^2} = 1 - \frac{3e^x}{\left(e^x+1\right)^2} = \frac{\left(e^x\right)^2 - e^x + 1}{\left(e^x+1\right)^2}$$Le signe de $f'(x)$ est celui de $\left(e^x\right)^2 - e^x + 1$. On pose $e^x = X$ : $X^2 - X + 1 = 0$ a pour discriminant $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, donc $X^2 - X + 1 > 0$ et par suite $f'(x) > 0$.
$$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array}$$3)
$$f(x) = x - 1 + \frac{3}{e^x+1} = x + 2 - 3 + \frac{3}{e^x+1} = x + 2 + \frac{-3\left(e^x+1\right) + 3}{e^x+1} = x + 2 - \frac{3e^x}{e^x+1}$$4) On a $f(x) - (x-1) = \dfrac{3}{e^x+1}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) - (x-1) = 0$ : la droite $(\Delta) : y = x - 1$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$. Et $f(x) - (x-1) = \dfrac{3}{e^x+1} > 0$, donc $C_f$ est au-dessus de $(\Delta)$.
On a $f(x) - (x+2) = -\dfrac{3e^x}{e^x+1}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) - (x+2) = 0$ : la droite $(D) : y = x + 2$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $-\infty$. Et $f(x) - (x+2) = -\dfrac{3e^x}{e^x+1} < 0$, donc $C_f$ est au-dessous de $(D)$.
Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = \left(e^x - 4\right)\sqrt{e^x - 1}$.
1) Déterminer $D_f$ et calculer les limites aux bornes de $D_f$.
2) Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}_*^+\right)\ \dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}} \cdot \dfrac{e^x-1}{x}$.
3) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0 et interpréter géométriquement le résultat.
4) Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}_*^+\right)\ f'(x) = \dfrac{3e^x\left(e^x-2\right)}{2\sqrt{e^x-1}}$.
5) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
6) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$.
7) Calculer $f(2\ln 2)$.
1) $e^x - 1 \geq 0 \iff e^x \geq 1 \iff x \geq 0$, donc $D_f = \mathbb{R}^+$.
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{car} \quad \lim_{x \to +\infty} e^x - 4 = +\infty \ \text{et} \ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{e^x-1} = +\infty$$2)
$$\frac{f(x)}{x} = \frac{\left(e^x-4\right)\sqrt{e^x-1}}{x} = \frac{\left(e^x-4\right)\left(\sqrt{e^x-1}\right)^2}{x\sqrt{e^x-1}} = \frac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}} \cdot \frac{e^x-1}{x}$$3)
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-4}{\sqrt{e^x-1}} \cdot \frac{e^x-1}{x}$$puisque $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1}{x} = 1$, et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^x - 4 = -3$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt{e^x-1} = 0^+$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = -\infty$.
Donc $f$ n'est pas dérivable à droite de 0. Interprétation géométrique : la courbe $C_f$ admet une demi-tangente verticale à droite du point $O(0 ; 0)$, dirigée vers le bas.
4)
$$f'(x) = e^x\sqrt{e^x-1} + \left(e^x-4\right)\frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} = \frac{2e^x\left(e^x-1\right) + e^x\left(e^x-4\right)}{2\sqrt{e^x-1}}$$ $$f'(x) = \frac{2e^{2x} - 2e^x + e^{2x} - 4e^x}{2\sqrt{e^x-1}} = \frac{3e^{2x} - 6e^x}{2\sqrt{e^x-1}} = \frac{3e^x\left(e^x-2\right)}{2\sqrt{e^x-1}}$$5) Le signe de $f'(x)$ est celui de $e^x - 2$ car $\dfrac{3e^x}{2\sqrt{e^x-1}} > 0$ ; $e^x - 2 > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2$.
$$f(\ln 2) = \left(e^{\ln 2} - 4\right)\sqrt{e^{\ln 2} - 1} = (2-4)\sqrt{2-1} = -2$$ $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & \ln 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -2 & \nearrow & +\infty \end{array}$$6)
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^x}{x} - \frac{4}{x}\right)\sqrt{e^x-1} = +\infty$$car $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{e^x-1} = +\infty$. Donc la courbe $C_f$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
7)
$$f(2\ln 2) = \left(e^{\ln 4} - 4\right)\sqrt{e^{\ln 4} - 1} = (4-4)\sqrt{4-1} = 0$$Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{e^{-x} - e^{-2x}}$.
1) Déterminer $D_f$ et calculer les limites aux bornes de $D_f$.
2) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ à droite de 0 et interpréter géométriquement le résultat.
3) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
1) $e^{-x} - e^{-2x} \geq 0 \iff e^{-x} \geq e^{-2x} \iff -x \geq -2x \iff x \geq 0$, donc $D_f = [0 ; +\infty[$.
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{e^{-x} - e^{-2x}} = 0 \quad \text{car} \quad \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \ \text{et} \ \lim_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$$2) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{e^{-x} - e^{-2x}} = 0 = f(0)$, donc $f$ est continue à droite de 0.
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{e^{-x} - e^{-2x}}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{e^{-x}\left(1 - e^{-x}\right)}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{e^{-x}}{x} \times \frac{e^{-x} - 1}{-x}}$$On a $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x}}{x} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x} - 1}{-x} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = +\infty$.
Donc $f$ n'est pas dérivable à droite de 0. Interprétation géométrique : la courbe $C_f$ admet une demi-tangente verticale à droite du point $O(0 ; 0)$, dirigée vers le haut.
3)
$$f'(x) = \frac{\left(e^{-x} - e^{-2x}\right)'}{2\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}} = \frac{-e^{-x} + 2e^{-2x}}{2\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}} = \frac{e^{-2x}\left(2 - e^{x}\right)}{2\sqrt{e^{-x}-e^{-2x}}}$$Le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - e^x$ ; $2 - e^x > 0 \iff e^x < 2 \iff x < \ln 2$.
$$f(\ln 2) = \sqrt{e^{-\ln 2} - e^{-2\ln 2}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$ $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & \ln 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \dfrac{1}{2} & \searrow & 0 \end{array}$$Considérons la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$.
1) Déterminer $D_f$ et calculer les limites aux bornes de $D_f$.
2) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
3) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
4) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.
1) $1 - e^{2x} > 0 \iff 1 > e^{2x} \iff e^0 > e^{2x} \iff 0 > 2x \iff x < 0$, donc $D_f = \,]-\infty ; 0[$.
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{0}{\sqrt{1-0}} = 0$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}\left(\frac{1}{e^{2x}} - 1\right)}} = +\infty \quad \text{car} \quad \lim_{x \to 0^-} \sqrt{e^{2x}\left(\frac{1}{e^{2x}}-1\right)} = 0^+$$2)
$$f'(x) = \frac{e^x\sqrt{1-e^{2x}} - e^x\left(\sqrt{1-e^{2x}}\right)'}{\left(\sqrt{1-e^{2x}}\right)^2} = \frac{2e^x\left(1-e^{2x}\right) + 2e^xe^{2x}}{2\sqrt{1-e^{2x}}\left(1-e^{2x}\right)}$$ $$f'(x) = \frac{2e^x - 2e^{3x} + 2e^{3x}}{2\sqrt{1-e^{2x}}\left(1-e^{2x}\right)} = \frac{2e^x}{2\sqrt{1-e^{2x}}\left(1-e^{2x}\right)} > 0 \quad \forall x \in \,]-\infty ; 0[$$ $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & 0 \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}$$3) $f$ est continue et strictement croissante sur $I = \,]-\infty ; 0[$, donc $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $J = f(I) = f(]-\infty ; 0[) = \,]0 ; +\infty[$.
4) $\begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases} \iff \begin{cases} y = f^{-1}(x) \\ x \in J \end{cases}$ :
$$\frac{e^y}{\sqrt{1-e^{2y}}} = x \iff \left(\frac{e^y}{\sqrt{1-e^{2y}}}\right)^2 = x^2 \iff \frac{e^{2y}}{1-e^{2y}} = x^2$$ $$e^{2y} = x^2\left(1 - e^{2y}\right) \iff e^{2y}\left(1+x^2\right) = x^2 \iff e^{2y} = \frac{x^2}{1+x^2} \iff 2y = \ln\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)$$ $$y = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right) = \ln\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}$$ $$\text{Donc} \quad f^{-1}(x) = \ln\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}} \quad \forall x \in \,]0 ; +\infty[$$Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 - \ln\left(1 + e^{-x}\right)$.
1) a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ et interpréter géométriquement le résultat.
b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
2) a) Vérifier que $(\forall x \in \mathbb{R})\ f(x) = x + 1 - \ln\left(1 + e^{x}\right)$.
b) En déduire que la droite $(D) : y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $-\infty$.
c) Étudier la position de $C_f$ par rapport à la droite $(D)$.
3) a) Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})\ f'(x) = \dfrac{1}{1+e^x}$.
b) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
c) Étudier la concavité de $C_f$.
d) Montrer que $C_f$ coupe l'axe des abscisses en un point à déterminer.
4) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.
1) a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 1 - \ln\left(1 + \frac{1}{e^x}\right) = 1$ car $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$.
Interprétation géométrique : $y = 1$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} 1 - \ln\left(1 + \frac{1}{e^x}\right) = -\infty$ car $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^x} = +\infty$.
2) a)
$$f(x) = 1 - \ln\left(1 + \frac{1}{e^x}\right) = 1 - \ln\left(\frac{e^x+1}{e^x}\right) = 1 - \ln\left(e^x+1\right) + \ln\left(e^x\right) = x + 1 - \ln\left(e^x+1\right)$$b) $f(x) - (x+1) = -\ln\left(e^x+1\right)$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) - (x+1) = \lim_{x \to -\infty} -\ln\left(e^x+1\right) = 0$ car $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Par suite, la droite $(D) : y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $-\infty$.
c) On a $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $e^x + 1 > 1$, donc $\ln\left(e^x+1\right) > 0$, donc $-\ln\left(e^x+1\right) < 0$. Donc la courbe $C_f$ est au-dessous de la droite $(D) : y = x+1$.
3) a)
$$f'(x) = \left(x + 1 - \ln\left(e^x+1\right)\right)' = 1 - \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{1 + e^x - e^x}{1+e^x} = \frac{1}{1+e^x} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$b)
$$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 1 \end{array}$$c)
$$f''(x) = \left(\frac{1}{1+e^x}\right)' = -\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2} < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$Donc la courbe $C_f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
d)
$$f(x) = 0 \iff \ln\left(1+e^{-x}\right) = 1 \iff \ln\left(1+e^{-x}\right) = \ln e \iff e^{-x} = e - 1 \iff x = -\ln(e-1)$$Donc le point d'intersection de $C_f$ avec l'axe des abscisses est $A\big(-\ln(e-1) ; 0\big)$.
4) a) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(\mathbb{R}) = \,]-\infty ; 1[$.
b)
$$1 - \ln\left(1+e^{-y}\right) = x \iff 1 - x = \ln\left(1+e^{-y}\right) \iff 1 + e^{-y} = e^{1-x}$$ $$e^{-y} = e^{1-x} - 1 \iff -y = \ln\left(e^{1-x}-1\right) \iff y = -\ln\left(e^{1-x}-1\right)$$ $$\text{Donc} \quad f^{-1}(x) = -\ln\left(e^{1-x}-1\right) \quad \forall x \in \,]-\infty ; 1[$$Soit $a$ un réel strictement positif et différent de 1. La fonction $\log_a$ étant continue et strictement monotone sur $]0 ; +\infty[$, elle admet une fonction réciproque de $\mathbb{R} = \log_a(]0 ; +\infty[)$ vers $]0 ; +\infty[$. Cette fonction réciproque s'appelle la fonction exponentielle de base $a$ et se note $\exp_a$.
Soit $a > 0$ et $a \neq 1$ ; on a :
$$(\forall x \in \mathbb{R})\quad \exp_a(x) = e^{x\ln a}$$Soit $a > 0$ et $a \neq 1$ ; la fonction $\exp_a$ est définie sur $\mathbb{R}$ et :
Soit $a > 0$ et $a \neq 1$ ; on a $(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2)$ :
$$\exp_a(x+y) = \exp_a(x) \times \exp_a(y)$$Conséquences, pour $x$ et $y$ deux réels :
$$\exp_a(-x) = \frac{1}{\exp_a(x)} \qquad ; \qquad \exp_a(x-y) = \frac{\exp_a(x)}{\exp_a(y)} \qquad ; \qquad \exp_a(rx) = \left(\exp_a x\right)^r$$$\exp_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$$(\forall x \in \mathbb{R})\quad \left(\exp_a(x)\right)' = (\ln a)\,e^{x\ln a} = (\ln a)\,a^x$$Si $a > 1$ : on a $\ln(a) > 0$ et par suite $(\forall x \in \mathbb{R})\ \left(\exp_a'(x) > 0\right)$, avec $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \exp_a(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \exp_a(x) = +\infty$ :
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline \exp_a'(x) & & + & & + & & + & \\ \hline \exp_a(x) & 0 & \nearrow & 1 & \nearrow & a & \nearrow & +\infty \end{array}$$Si $0 < a < 1$ : on a $\ln(a) < 0$ et par suite $(\forall x \in \mathbb{R})\ \left(\exp_a'(x) < 0\right)$, avec $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \exp_a(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \exp_a(x) = 0$ :
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline \exp_a'(x) & & - & & - & & - & \\ \hline \exp_a(x) & +\infty & \searrow & 1 & \searrow & a & \searrow & 0 \end{array}$$Soit $a$ un réel strictement positif.
$(\forall a \in \mathbb{R}_+^*)(\forall b \in \mathbb{R}_+^*)(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})$ :
$$a^x \times a^y = a^{x+y} \qquad ; \qquad (a \times b)^x = a^x \times b^x \qquad ; \qquad \left(a^x\right)^y = a^{xy}$$ $$a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \qquad ; \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} \qquad ; \qquad \left(a^x\right)' = a^x \times \ln a$$De plus, $x \to a^x$ est strictement croissante si $a > 1$, et strictement décroissante si $0 < a < 1$.
Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
1) $5^x = 15$
2) $3^{2x} \geq 5^{1-x}$
3) $7^{x+1} - 7^{-x} < 6$
1) $5^x = 15 \iff e^{x\ln 5} = 15 \iff x\ln 5 = \ln 15 \iff x = \dfrac{\ln 15}{\ln 5}$, donc $S = \left\{\dfrac{\ln 15}{\ln 5}\right\}$.
2)
$$3^{2x} \geq 5^{1-x} \iff \ln\left(3^{2x}\right) \geq \ln\left(5^{1-x}\right) \iff 2x\ln 3 \geq (1-x)\ln 5 \iff x\left(2\ln 3 + \ln 5\right) \geq \ln 5$$ $$S = \left[\frac{\ln 5}{2\ln 3 + \ln 5} ; +\infty\right[$$3) $7^{x+1} - 7^{-x} < 6 \iff 7^{x+1} - \dfrac{1}{7^x} < 6$ ; on a $7^x > 0$ :
$$7^{2x+1} - 1 < 6 \times 7^x \iff 7\left(7^x\right)^2 - 6 \times 7^x - 1 < 0$$On pose $t = 7^x$ : $7t^2 - 6t - 1 = (t-1)(7t+1)$, donc :
$$\left(7^x - 1\right)\left(7 \times 7^x + 1\right) < 0 \iff 7^x - 1 < 0 \quad \text{car} \quad 7^{x+1} + 1 > 0$$ $$7^x < 1 \iff 7^x < 7^0 \iff x < 0 \quad \text{car} \ x \to 7^x \ \text{est strictement croissante} \qquad S = \,]-\infty ; 0[$$Résoudre les équations et inéquations suivantes dans $\mathbb{R}$ :
1) $2^{x+1} = 8^x$
2) $3^x = 12$
3) $4^x - 3 \times 2^{x+1} - 16 = 0$
4) $100^x + 40 = 14 \times 10^x$
5) $2^{x-1} > 4^x$
6) $(0{,}5)^{2x} > (0{,}5)^{x+1}$
1) $2^{x+1} = \left(2^3\right)^x = 2^{3x} \iff x + 1 = 3x \iff x = \dfrac{1}{2}$, donc $S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.
2) $3^x = 12 \iff x = \log_3 12$, donc $S = \left\{\log_3 12\right\}$.
3) $4^x - 3 \times 2^{x+1} - 16 = 0 \iff \left(2^x\right)^2 - 6 \times 2^x - 16 = 0$ ; on pose $2^x = X$ : $X^2 - 6X - 16 = 0$, $\Delta = 36 + 64 = 100 > 0$, $X_1 = 8$ et $X_2 = -2$.
Or $2^x > 0$, donc l'équation $2^x = -2$ n'a pas de solution ; $2^x = 8 \iff x = \log_2 8 = 3$, donc $S = \{3\}$.
4) $100^x + 40 = 14 \times 10^x \iff 10^{2x} - 14 \times 10^x + 40 = 0$ ; on pose $10^x = X$ : $X^2 - 14X + 40 = 0$, $\Delta = 196 - 160 = 36 > 0$, $X_1 = 10$ et $X_2 = 4$.
$10^{x_1} = 10$ et $10^{x_2} = 4$, donc $x_1 = 1$ et $x_2 = \log_{10} 4$ : $S = \left\{1 ; \log_{10} 4\right\}$.
5) $2^{x-1} > 4^x \iff 2^{x-1} > 2^{2x} \iff x - 1 > 2x \iff -1 > x$, donc $S = \,]-\infty ; -1[$.
6) $(0{,}5)^{2x} > (0{,}5)^{x+1} \iff 2x < x+1$ car $x \to (0{,}5)^x$ est strictement décroissante ($0 < 0{,}5 < 1$), donc $x < 1$ et $S = \,]-\infty ; 1[$.
Soit $a$ un réel strictement positif et $a \neq 1$. Si $u$ est une fonction dérivable, alors une primitive de $u'(x)\,a^{u(x)}$ est :
$$\frac{1}{\ln a}\,a^{u(x)}$$Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = 3^{x-2}$.
Si on pose $u(x) = x - 2$, on a $f(x) = u'(x)\,3^{u(x)}$, donc les primitives de $f$ sont :
$$F(x) = \frac{1}{\ln 3}\,3^{u(x)} + \lambda = \frac{1}{\ln 3}\,3^{x-2} + \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 4^x - 2^{x+1}$.
1) Déterminer $D_f$.
2) Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
3) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
4) Étudier les branches infinies de la courbe $C_f$.
1) $f(x) = e^{x\ln 4} - e^{(x+1)\ln 2}$, donc $D_f = \mathbb{R}$.
2)
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{2x\ln 2} - e^{(x+1)\ln 2} = \lim_{x \to +\infty} e^{x\ln 2}\left(e^{x\ln 2} - 2\right) = +\infty$$car $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$.
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^{2x\ln 2} - e^{(x+1)\ln 2} = 0 \quad \text{car} \quad \lim_{X \to -\infty} e^X = 0$$3) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ :
$$f'(x) = 2\ln 2 \times e^{x\ln 2} \times \left(e^{x\ln 2} - 1\right) \qquad ; \qquad f'(x) = 0 \iff e^{x\ln 2} - 1 = 0 \iff x = 0$$ $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & +\infty \end{array}$$4) On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, donc $y = 0$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x\ln 2}}{x}\left(e^{x\ln 2} - 2\right) = +\infty$$car $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$. Donc la courbe $C_f$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
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