Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

Soit $I = \int_0^a \frac{1}{1 + f(x)}\,dx$.

**Étape 1 : Changement de variable**

Dans l'intégrale $I$, posons $u = a - x$, donc $du = -dx$.

Quand $x = 0$, $u = a$ ; quand $x = a$, $u = 0$.

$$I = \int_a^0 \frac{1}{1 + f(a-u)}\,(-du) = \int_0^a \frac{1}{1 + f(a-u)}\,du$$

**Étape 2 : Utiliser la condition $f(x)f(a-x) = 1$**

De $f(x)f(a-x) = 1$, on déduit : $f(a-x) = \frac{1}{f(x)}$

Donc :
$$I = \int_0^a \frac{1}{1 + \frac{1}{f(x)}}\,dx = \int_0^a \frac{f(x)}{f(x) + 1}\,dx$$

**Étape 3 : Additionner les deux expressions de $I$**

$$2I = \int_0^a \frac{1}{1 + f(x)}\,dx + \int_0^a \frac{f(x)}{1 + f(x)}\,dx$$

$$2I = \int_0^a \left(\frac{1 + f(x)}{1 + f(x)}\right)\,dx = \int_0^a 1\,dx = a$$

**Étape 4 : Conclusion**

$$I = \frac{a}{2}$$