Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Méthode 1 : Interprétation géométrique (plus rapide)**

L'intégrale $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx$ représente l'aire sous la courbe $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ de $x=0$ à $x=a$.

Or, l'équation $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (avec $y \geq 0$) décrit le quart de cercle de rayon $a$ dans le premier quadrant.

L'aire d'un quart de cercle de rayon $a$ est :
$$\text{Aire} = \frac{1}{4}\pi a^2$$

Donc : $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{4}$

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**Méthode 2 : Changement de variable (rigoureux)**

Posons $x = a\sin\theta$ avec $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

Alors :
- $dx = a\cos\theta\,d\theta$
- $\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$ (positif sur cet intervalle)
- Quand $x=0$ : $\theta = 0$ ; quand $x=a$ : $\theta = \frac{\pi}{2}$

$$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} a\cos\theta \cdot a\cos\theta\,d\theta = a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta$$

Utilisons $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ :

$$a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{a^2}{2}\left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_0^{\pi/2}$$

$$= \frac{a^2}{2}\left[\frac{\pi}{2} + 0 - 0\right] = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2}{4}$$